Машины постоянного тока Проводниковые материалы Полупроводниковые материалы Туннельный диод Диэлектрик

Элементы теории дифракции

Строгая постановка задачи дифракции

  В большинстве реальных электромагнитных задачах поверхность раздела сред нельзя считать безграничной и плоской. А падающую волну плоской электромагнитной волной. В этом случае при падении электромагнитной волны на тело конечных размеров наряду с явлением отражения и преломления возникает процесс называемый дифракцией.

  В этом разделе будут рассмотрены методы решения задач рассеяния электромагнитной волны на металлических, расположенных в однородном изотропном пространстве. Волны будем считать гармоническими, металлические тела — идеально проводящими, а бесконечное изотропное пространство без потерь.

 Процесс дифракции можно описать следующим образом:

Падающие электромагнитные волны (предполагается известными) наводят на металлических телах поверхностные токи. Эти токи, в свою очередь, возбуждают вторичные электромагнитные волны. Задача дифракции, таким образом, сводится к вычислению вторичного электромагнитного поля. Достаточно вычислить только одну компоненту Е или Н так как они связаны через уравнения Максвелла. Сформулируем математически задачу дифракции.

Составляющие падающей волны , ; составляющие вторичного поля , .

Во внешнем пространстве, по отношению к рассеивающему телу, векторудовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца.  1

на поверхности S рассеивающего тела суммарная тангенциальная компонента электрического поля:  2

В точках бесконечно удаленных от рассеивающего тела вторичное поле должно удовлетворять условию излучения на бесконечность:  3

 В ряде задач бывает удобно провести подобное рассмотрение относительно магнитного поля

 4

В этом случае грагичное условие ( 2 ) можно переписать, используя 1-ое уравнение Максвелла: 

  5

Часто при решении задач второго вида бывает удобно записывать граничные условия относительно нормальных компонент: 

   6

Задача второго вида тоже должна быть дополнена 

  7

 Сформулированные задачи дифракции относительно и имеют одинаковое решение, если рассеивающее тело не имеет ребер, изломов. Если на теле имеются изломы поверхности, то при решении задачи приведенные соотношения должны быть дополнены дополнительным условием: условием на ребре.

11.2. Дифракция плоской волны на круговом цилиндре

  Рассмотрим задачу дифракции плоской поперечной линейно поляризованной волны на идеальном круговом проводящем бесконечном цилиндре.

 Введем цилиндрическую систему координат. Z совпадает с осью цилиндра. Угол j отсчитывается от направления, противоположного направлению распространения падающей первичной волны. Достаточно рассмотреть 2 дифракционные задачи:

1 задача:

2 задача:

При произвольной ориентации векторов Е и Н задача может быть представлена как суперпозиция 2-ух оговоренных задач.

 Рассмотрим первую задачу.

В этом случае электрическое поле падающей волны

 1

 Рассматриваемая задача является двухмерной, так как составляющие поля не зависят от Z. Причем это условие распространяется и на первичное и на вторичное поле:

 2

 3

Однородное уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах можно записать так (так как не зависит от Z):

 4

где ;.

Составляющие электрического поляна поверхности цилиндра должны удовлетворять нулевому граничному условию: 

 5

 Искомое выражение напряженности вторичного электромагнитного поля должно удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это означает, что в полученном решении мы должны оставить только те частные решения, у которых фазовый множительсоответствует волнам расходящимся от цилиндра. Также должны быть исключены частные решения с фазовым множителем.

 Решим уравнение ( 4 ) методом разделения переменных. Предполагаем, что искомая функция

 6

Подставим ( 6 ) в ( 4 ). Осуществим дифференцирование и поделим все слагаемые после этого на ( 6 ):

 7

Умножим все слагаемые ( 7 ) на r2 и сгруппируем слева функции от r, а справа функции от j. Получим:

 8

Из ( 8 ) следует, что в этом соотношении приравниваются функции от независимых координат. Это возможно если левая и правая части равны некоторой постоянной m2. Получим: 

 9

Продифференцируем: 

 10

В данном случае искомое выражение для Е(r,j) обладает следующим свойством:

 11

т. е. является периодичным по углу j. Очевидно этим же свойством обладает функция Ф.

 12

Решим уравнение ( 9 ) (диф-ое уравнение 2-ого порядка):  13

Полученное решение ( 13 ) обладает свойством ( 12 ) в том случае, когда m является постоянным числом (целым). Очевидно, что искомая функция , а стало быть и функция Ф являются четными функциями по углу j 

Таким образом в решении ( 13 ) мы должны оставить только 2-ое слагаемое  14

Дифференциальное уравнение ( 10 ) известного вида называется уравнением Бесселя. Известно, что это уравнение имеет следующее решение:  15

Jm(kr) — цилиндрическая функция 1-ого рода (функция Бесселя 1-ого порядка).

Nm(kr) — цилиндрическая функция 2-ого рода (функция Неймана).

В данном случае решение ( 15 ) удобно записать через цилиндрические функции 3-его рода (функции Гангеля).  16

Эти функции связаны с функциями Бесселя и Неймана

При для функции Гангеля справедливо следующее асимптотическое представление 

Таким образом следует, что в решении ( 16 ) мы должны положить, что 

 Из последних соотношений следует, что функция Ганкеля 1-ого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется из бесконечности к оси Z; функция Ганкеля 2-ого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется от оси Z на бесконечность.

 Полученные решения должны удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это условие означает, что действительными или реальными являются те, которые соответствуют волнам расходящимся от источника. В данном случае источником искомой вторичной волны является поверхность цилиндра. На основании приведенных рассуждений мы должны положить С=0. Обобщая рассмотренные решения можно отметить, что решением однородного уравнения ( 4 ) являются функции вида

 17

где Dm — неизвестные пока коэффициенты амплитуды.

  Коэффициенты Dm могут быть найдены из граничного условия 

Представим искомое вторичное поле в виде бесконечной композиции решений вида ( 17 ).  18

— ряд Фурье по цилиндрическим функциям.

  Воспользуемся известным из теории цилиндрических функций разложением  19

(19) есть фактически тоже разложение в ряд Фурье функции экспоненциальной.

 Подставляем ( 18 ) и ( 19 ) в граничные условия

 20

В ( 20 ) справа и слева стоят разложения одной и той же функции в ряд Фурье по цилиндрическим функциям. Известно, что это разложение является единственно-возможным т. е. в ( 20 ) должно также соблюдаться равенство соответствующих амплитудных коэффициентов.

 Приравняем соответствующие амплитудные коэффициенты и из этих равенств выразим искомые коэффициенты Dm.

   21

Подставим ( 21 ) в общее соотношение ( 17 ):

 22

— общее решение для электрического поля рассеиваемой волны представленное в виде разложения по цилиндрическим функциям.

Окончательное решение выглядит следующим образом: 

  23

 Ряд в ( 22 ) является абсолютно сходящимся и дифференцируемым в каждой точке. Поэтому выражение для магнитной составляющей легко может быть получено из 2-ого уравнения Максвелла с использование ( 22 )

 Найденное решение в форме ( 22 ) является симметричным по углу j, с периодом по j равным 2p. Найденное решение удовлетворяет условию излучения на бесконечность.

 Попытаемся изобразить графически решение ( 22 ) для некоторых значений радиуса (а) цилиндра для r>>a, r>>l (т. е. в дальней зоне):

 

 Из приведенных рисунков следует, что в результате дифракции на цилиндре плоской волны появляется вторичное поле с четко выраженным максимумом при j=1800. Полученное решение ( 22 ) в принципе применимо для любого радиуса цилиндра. Однако при больших значениях сходимость ряда в соотношении ( 22 ) ухудшается. В этом случае, хотя и можно использовать ( 22 ), целесообразно получить новые соотношения, которые следуют из ( 22 ) путем асимптотического перехода.

 Изложенный строгий (точный) метод решения дифракционной задачи называют методом Фурье. Точное решение возможно в том случае, если поверхность тела может быть описана в известных системах координат (декартова, цилиндрическая, сферическая, коническая...). Если же тело не может быть описано в известных системах координат, то при решении однородного дифференциального уравнения метод разделения переменных оказывается неприменимым, что исключает возможность применения метода Фурье. Если поверхность тела не совпадает ни с одной из координатных поверхностей, то строгими методами задача дифракции не решается. В этом случае прибегают к приближенным решениям.


На главную