Машины постоянного тока Проводниковые материалы Полупроводниковые материалы Туннельный диод Диэлектрик

Курс лекций и задач по физике

Плоские электромагнитные волны.

 Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.

6.2. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной

 среде без потерь. Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока Индуктивная катушка как элемент схемы замещения реальной цепи синусоидального тока дает возможность учитывать при расчете явление самоиндукции и явление накопления энергии в ее магнитном поле.

  Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь(). В этом случае для определения характеристик электромагнитного поля удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля.

 (1) Векторы магнитного поля. Сила взаимодействия электромагнитного поля на точечный электрический заряд зависит не только от величины и положения заряда, но также от скорости и направления его движения. Как известно, сила, действующая на положительный точечный электрический заряд движущийся в магнитном поле определяется силой Лоренца:  

 (2)

-волновое число.

Векторные уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений:

 (3)

 (4)

Наиболее просто уравнения (3) и (4) и их решения выглядят в случае плоских электромагнитных волн. Под плоскими волнами подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты, в каждый фиксированный момент времени неизменны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что волна, распространяется вдоль оси Z, т.е. вектор Пойнтинга:

 (5)

 Из соотношения (5) видно, что вектор Пойнтинга определяется компонентами электромагнитного поля, находящимися в плоскости xOy. В данном случае отсутствуют составляющие поля вдоль оси z. Таким образом, должны выполняться условия:

 так как, по определению, поле должно быть неизменно в плоскости распространения волны, то:

  (6)

Используя соотношение (6), выражения (3) и (4) можно переписать следующим образом:

 (7)

 (8)

Решение каждого из уравнений:  (9)

 (10)

Для того, чтобы не увеличивать количество постоянных интегрирования мы компоненты поля найдем с использованием решений (9), (10) и уравнений Максвелла.

 (11)

Используя соотношение (11), получим:

 (12)

 (13)

Вынося jk за скобки, получим:

 (14)

 (15)

Получим систему решений: (16)

 (17)

 (18)

 (19),

где , [Ом] — характеристическое сопротивление среды, определяющееся свойствами среды.

Пары (16)-(17) и (18)-(19) образуют вектор Пойнтинга, ориентированный по оси z. Полученные нами, решения представляют собой сумму двух слагаемых (так как решалось дифференциальное уравнение). Уточним физический смысл каждого слагаемого. Для этого в уравнении (16) перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям.

 (20)

Аргумент первого слагаемого —  (21)

Аргумент второго слагаемого —

Рассмотрим аргументы и слагаемые для t=t1, z=z1, т.е. . Дадим приращение времени  и определим смещение точек  этого волнового процесса с постоянными фазами .

Для того, чтобы оценить это смещение, осуществляем следующие равенства:

 (22)

 (23)

Приводя подобные члены в соотношениях (22) и (23), получим:

 (24)

 (25)

Выражая  в первом и втором случаях, получаем:

 (26)

  (27)

Соотношение (26) определяет перемещения фиксированной фазы , а соотношение (27) — , т.е. соотношения (26) и (27) определяют фазовую скорость. Соотношение (26) определяет положительную фазовую скорость. Стало быть, компонента и соответствующая ей соответствуют плоской волне распространяющейся в положительном направлении оси z. Аналогично и соотношение (27).

 Итак, в полученном нами решении (16) первое слагаемое для плоской волны в положительном направлении, второе слагаемое — в отрицательном.

Уточним физический смысл волнового числа k. Волновое число k показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр. Минимальное расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2p называется длинной волны (пространственным периодом).

 (28)

 (29)

Проанализируем полученные решения на примере , .

В этих общих решениях выделим слагаемые, которые соответствуют волне, распространяющейся в положительном направлении оси z:

 (30)

 (31)

Перейдем к мгновенным значениям:

 (32)

 (33)

1. z = const — поверхность равных фаз представляет собой плоскость.

2. поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз (плоская волна однородная).

3. в направлении распространения отсутствуют составляющие поля (плоская, однородная, поперечная).

4. компоненты поля плоской волны взаимноортогональны и перпендикулярны направлению распространения волны.

 Между составляющими поля плоской волны существует взаимосвязь.

Определим энергетические характеристики волны:

 — объемная плотность электрической энергии.

 — объемная плотность магнитной энергии.

Так как среда однородная, изотропная и без потерь,

.

Определим скорость распространения энергии:

.

Уравнение для фазовой скорости: , где .

Тогда в случае среды без потерь: .

 Различные комбинации полного решения для плоской электромагнитной волны фактически соответствуют одной и той же плоской волне при различных ее ориентациях, относительно выбранной системы координат.


 


На главную