ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ОПТОИНФОРМАТИКЕ

Лабораторная работа №8

Использование преобразования Фурье в системах оптической обработки информации

Цель работы: Изучение возможностей преобразования Фурье применительно к оптическим системам.

Задачи, решаемые в работе:

Изучить оптические системы, выполняющие преобразование Фурье.

Познакомиться с трактовкой преобразования Фурье применительно к оптике.

Изучить спектры Фурье некоторых характерных элементов оптических схем.

Освоить вычисление геометрических и частотных параметров оптических объектов на основе анализа их спектров Фурье. 

Сведения из теории

Преобразование Фурье - один из основных методов теории информации и теории связи. Исторически теория информации и теория связи развивались на базе электротехнических дисциплин, электронных средств связи и вычислительной техники. Однако уже с конца 30 годов 20 века формировались и развивались связи между этими областями техники и оптикой. В 50-х годах прошлого века применение методов теории связи в области оптической обработки информации становится устойчивой практикой. Сочетание методов теории связи и возможностей оптики, в особенности когерентной, привело к мощному развитию направлений науки и техники, связанных с оптическими информационными системами.

Для описания таких систем одним из фундаментальных является метод, использующий математический аппарат преобразования Фурье.

Преобразование Фурье – мощный инструмент не только анализа, но и синтеза информационных систем, в основе которого - представление сигнала (а) в виде линейной комбинации более простых функций определенного вида, а именно, комплексных экспоненциальных функций. Применение преобразования Фурье к операциям свертки, корреляции и распределениям позволяет эффективно решать задачи анализа оптических систем, которые иначе требовали бы использования специальных и часто весьма трудоемких методов. При этом значение метода Фурье в оптике было бы менее существенным, если бы он не открывал уникальных возможностей для синтеза оптических систем, связанных с направленным воздействием на спектр оптических сигналов. Использование методов синтеза Фурье привело, например, к созданию микроскопа фазового контраста Цернике, оптических согласованных фильтров и алгоритмов распознавания образов, различных методов усиления контраста.

Преобразование Фурье комплексной функции независимых переменных а (x,y) имеет вид

 (1).

Величину  называют фурье-образом, или спектром Фурье, или частотным спектром функции а(x,y) . Независимые переменные νx , νy обычно называют частотами.

Обратным преобразованием Фурье функции  называют выражение вида

  (2).

В оптике преобразование Фурье распределения комплексных амплитуд светового поля в плоскости можно трактовать как комбинацию плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. То есть, амплитуда поля в любой точке представляется суммой амплитуд этих плоских волн с учетом фазовых сдвигов, которые они приобретают, приходя в данную точку.

Действительно, выражение для плоской волны единичной амплитуды с направляющими косинусами волнового вектора (cos α, cos β, cos γ) имеет вид

  (3), 

где cos γ = , λ - длина волны.

При этом в плоскости z = 0 комплексные экспоненциальные функции в выражении (2): exp[j2π (νxx +νyy)] - описывают плоские волны (см. (3)) с направляющими косинусами

сos α = λ νx , сos β = λ νy, cos γ =  (4)

и комплексными амплитудами А(νx , νy)dνxdνy. Величины νx, νy имеют смысл пространственных частот распределения а(x,y). Соответственно,  величину F(a) = А(νx , νy) называют также частотным спектром сигнала а(x,y).

В случае оптических систем частотный спектр (или преобразование Фурье) можно не только представить математически, но и получить его изображение. Дело в том, что один из базовых элементов оптических систем, линза, трансформирует поле световой волны таким образом, что распределение поля в задней фокальной плоскости является как раз фурье-образом распределения поля в передней фокальной плоскости. То есть амплитуда и фаза световой волны в точке (xν, yν) задней фокальной плоскости определяется амплитудой и фазой спектра Фурье для пространственных частот νx , νy сигнала а(x,y) в передней фокальной плоскости. Физически это соответствует фокусировке плоской волны с волновым вектором к = (2πνx, 2π νy, кz ) в точку ( xν, yν).

Преобразование линзой светового поля вне передней фокальной плоскости приводит к формированию в задней фокальной плоскости распределения, отличающегося от фурье-спектра только фазой. В этом случае распределение амплитуд и, соответственно, интенсивности не отличается от такового в картине фурье-образа.

Для равновесного излучения, которому можно приписать температуру излучающих тел, можно рассчитать и термодинамические характеристики, например, внутреннюю энергию, давление, энтропию и т.д. Равновесное тепловое излучение однородно, т.е. его плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено. Такое излучение изотропно и неполяризовано - оно содержит все возможные направления распространения и направления колебаний векторов и .
Лабораторные работы по оптоэлектронике Квантовая физика