МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА дифракции электронов

611.1. Цель работы

Изучение волновых свойств и особенностей движения микрочастиц.

611.2. Разделы теории

Элементы квантовой механики. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности Гейзенберга. [1. Гл. 4, §18 - §20]; [2. Гл.27, §213 - §215]

611.3. Приборы и принадлежности

Персональный компьютер. Работа выполняется методом численного моделирования.

611.4. Теоретическое введение

В основе квантовой механики в качестве фундаментального (т.е. отражающего важнейшее универсальное свойство природы) принципа лежит идея корпускулярно-волнового дуализма. Состоит она в том, что всем микрообъектам присущи одновременно и корпускулярные и волновые свойства. Первым такое предположение высказал Луи де Бройль в 1923 г. На чем основывалось это предположение?

Во-первых, было известно, что свет обладает и волновыми свойствами (дифракция, интерференция) и корпускулярными (фотоэффект, световое давление). Существовала квантовая теория излучения абсолютно черного тела, согласно которой свет испускается порциями - квантами.

Во-вторых, Н. Бор построил теорию атома водорода, из которой следовало, что энергия электрона в атоме может принимать только дискретные значения. Это объяснило линейчатые спектры излучения газов, результаты опыта Франка и Герца. В то же время теория Бора не могла удовлетворительно описать движение электрона в атоме.

Наличие у света корпускулярных свойств, а также дискретность возможных значений энергии электрона в атоме водорода позволили сделать предположение, что любые частицы и, в частности, электроны, могут обладать и корпускулярными и волновыми свойствами. Подобно тому, как электромагнитная волна ассоциируется с фотоном, допустим, что каждой материальной частице сопоставлена волна, круговая частота ω которой связана с энергией частицы соотношением ,  = h/2π, где h - постоянная Планка. Если принять эту точку зрения, атом будет обладать свойствами резонирующей полости (резонатора) с дискретным набором собственных частот. Это позволит объяснить эффект квантования энергетических уровней атома.

При этом открывается возможность построить единую теорию, в которой вещество и излучение будут выступать как разновидности объектов одной природы, обладающих свойствами и волны и корпускулы.

План нашего дальнейшего изложения будет следующим: 1) исходя из предположения о том, что с каждой частицей связана волна, получим выражение, связывающее волновые и корпускулярные характеристики частицы; 2) проверим, удовлетворяет ли полученное выражение требованиям специальной теории относительности.

Последуем за де Бройлем и предположим, что с каждой движущейся частицей связана волна. Пусть внешние силы отсутствуют и частица движется равномерно и прямолинейно. Энергия частицы - Е, импульс - , масса - m.

По аналогии с движением фотона волна должна распространяться в том же направлении, в котором движется частица. Представим волну в виде

, (611.1)

где: А - амплитуда волны,  - волновой вектор, ω - частота. Как параметры волны  и ω могут быть связаны с параметрами движущейся частицы р, m, Е? По-видимому, следует обратить внимание на скорости распространения волны и частицы. Они должны быть равными, так как в конечном счете речь идет о перемещении в пространстве одного физического объекта, обладающего свойствами и волны и частицы. Однако известно, что распространение волны можно охарактеризовать групповой и фазовой скоростями. Какая из них должна быть равна скорости частицы?

Фазовая скорость волны есть скорость перемещения плоскости равной фазы

.

Однако, частице должна соответствовать волна конечной протяженности, так как частица не может находиться одновременно во всем пространстве. Плоская волна (611.1) этому условию не удовлетворяет. Чтобы удовлетворить этому условию, следует воспользоваться суперпозицией волн с близкими волновыми векторами. Такая суперпозиция волн называется волновым пакетом. Амплитуда волнового пакета велика в ограниченной области пространства, за пределами которой она быстро спадает. Точка, в которой амплитуда волнового пакета максимальна, движется со скоростью

, (611.2)

которая называется групповой скоростью волны. Именно эта скорость, а не фазовая должна быть отождествлена со скоростью частицы.

Мы допустили, что для частиц справедлива формула , как и для фотонов. Тогда

. (611.3)

Формулу (611.2) можно переписать так:

 (611.4)

Пользуясь выражениями (611.3) и (611.4), установим связь между величинами  и . Зная это соотношение, легко будет определить и связь между  и скоростью :

,

.

Откуда

.

Проинтегрируем последнее выражение, предполагая, что при =0 волновой вектор k также равен 0:

,

откуда

. (611.5)

В правой части формулы (611.5) стоит выражение для релятивистского импульса, следовательно, получена искомая связь между импульсом и волновым вектором:

. (611.6)

Именно это выражение и было получено де Бройлем.

Осталось проверить, удовлетворяют ли полученное выражение (611.6) и предположение (611.3) требованиям специальной теории относительности. Для этого рассмотрим две системы координат - "нештрихованную" К и "штрихованную" . Система К является лабораторной, а система  движется относительно К. В системе  волна, описываемая в системе К выражением (611.I), будет иметь вид

.

Допустим, что система   движется вместе с нашей частицей, т.е. является для нее системой покоя. В этом случае k' = 0, р' = 0 и Е' = mc2. Тогда, так как Е' = ω', ω' = mc2/ .

Согласно постулату Эйнштейна все физические процессы должны протекать одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Плоская волна должна оставаться периодичной во всех инерциальных системах отсчета. Волна периодична, откуда следует, что если разность фаз между двумя пространственно-временными точками Р и Q в системе отсчета К равна 2πn, где n - целое число, то в системе отсчета   разность фаз той же волны между соответствующими точками Р и Q должна оставаться равной 2πm (m - целое число). Иначе нарушится периодичность волны. Отсюда

.

Учитывая, что  - система покоя, получаем

. (611.7)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца для времени

,

где β =  /с ( - скорость движения частицы в системе отсчета К) и преобразуем (611.7):

.

Из последней формулы видно, что

. (611.8)

Энергию и импульс частицы в системе К можно выразить так:

; . (611.9)

Сравнивая выражения (611.8) и (611.9), получаем

.

Таким образом, сделанные нами предположения о характере зависимости E(ω) и  не противоречат специальной теории относительности.

Итак, сформулируем гипотезу де Бройля: с движущейся частицей связана волна, характеризуемая волновым вектором , который определяется импульсом частицы р =  k. Следовательно, длина волны, связанной с частицей, равна

. (611.10)

Если Е - полная энергия частицы, то

. (611.11)

Если Т - кинетическая энергия частицы, то Е = Т + mc2, где m - масса покоя электрона.

Подставляя полную энергию частицы в (611.11), получим:

.

При малых скоростях, т.е. когда   << с, а << 1, можно считать, что

,

что совпадает с.формулой (611.10) в нерелятивистском пределе.

Экспериментальная проверка гипотезы де Бройля состоит в прямом наблюдении волновых свойств электронов. Впервые она была осуществлена К. Дэвиссоном и Л. Джермером в 1927 г. (В 1937 г. ученым была присуждена Нобелевская премия по физике.) Они наблюдали дифракцию электронов при их отражении от поверхности кристалла. В 1949 г. советские физики Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант осуществили опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор заведомо по одному. Время пролета электрона через прибор было примерно в 1000 раз меньше среднего времени, проходящего до появления следующего электрона. Была получена дифракционная картина, аналогичная той, которую получили Дэвиссон и Джермер. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.

611.5. Описание установки

В настоящей лабораторной работе методом компьютерного моделирования воспроизводятся опыты по дифракции электронов на одной щели и на двух щелях.

На дисплее вы увидите стилизованное изображение электронной пушки (ЭП), диафрагмы (Д) и 50 полупроводниковых электронных детекторов, которые срабатывают при попадании в них электронов (рис. 611.1). Зная размеры каждого детектора,

Рис.611.1

можно определить координату точки, в которую попал электрон. Отметим, что размеры детекторов достаточно велики, чтобы, не входя в противоречие с принципом неопределённости Гейзенберга, говорить о "координате" электрона. Погрешность в определении координаты составляет а/2, где а - ширина детектора.

Количество электронов, зафиксированных каждым детектором, подсчитывается. Пользуясь этими данными, можно построить гистограмму распределения электронов по детекторам. Максимумы этой гистограммы соответствуют дифракционным максимумам. Положение максимумов интенсивности дифракционной картины определим по известной формуле

 или ,

где b - ширина щели; L - расстояние от диафрагмы до детектора; y - координата центра детектора номера N, отсчитанная от середины дифракционной картины; , N - число детекторов, считая от центрального; n - номер максимума; λ - длина волны де Бройля электрона. Из (611.13) получим:

.

Для первого дифракционного максимума (n = 1)

.

Схема опыта по дифракции электронов на двух щелях аналогична. Положение максимума при дифракции на двух щелях определяется формулой

d sin φ = n λ,

где d - расстояние между щелями; , .

Таким образом, , откуда

.

Для n = 1

. (611.15)

Зная длину волны де Бройля, можно из формул (611.10) - (611.12) определить импульс, полную и кинетическую энергию электрона:

, (611.16)

, (611.17)

 . (611.18)

611.6. Порядок выполнения работы

1. Получите у преподавателя задание к лабораторной работе.

2. Промоделируйте на компьютере опыт по дифракции электронов на одной щели. Повторите опыт трижды для 10, 100 и 500 электронов.

3. Для всех трех случаев запишите в таблицу количество электронов, зафиксированных в каждом из 50 детекторов.

4. После выполнения первого упражнения запишите значения расчетных параметров L, а и b, которые указаны в задании.

5. Промоделируйте на компьютере опыт по дифракции электронов на двух щелях для 10,100 и 500 и 10 000 электронов.

6. Занесите в таблицу количество электронов, зафиксированных детекторами в каждом из трех случаев.

7. Запишите значения расчетных параметров L, d, b, а для этого опыта.

8. Постройте гистограммы распределения электронов по детекторам для всех опытов. Сделайте вывод о том, в каком из опытов эффект наблюдается наиболее ярко.

9. Рассчитайте длину волны де Бройля, а также импульсы и энергии электронов по формулам (611.14) - (611.18). Расчеты выполнить по данным, полученным для 10 000 электронов. Сделайте вывод о целесообразности учета релятивистских поправок в рассматриваемых случаях. Для расчетов используйте данные опытов для 500 электронов.

10. Получите в соответствии с правилами определения погрешностей косвенных измерений формулы для расчета погрешностей и рассчитайте, погрешности для λ, Е, р и N. Проверьте, удовлетворяют ли погрешности в измерении импульса и координаты соотношению неопределенностей Гейзенберга.

Контрольные вопросы

1. Что такое корпускулярно-волновой дуализм частиц света и вещества?

2. Каковы экспериментальные и теоретические предпосылки возникновения гипотезы де Бройля?

3. В чем содержание гипотезы де Бройля?

4. Что такое волновой пакет и в чем необходимость применения волновых пакетов для описания движения частиц?

5. С какой из скоростей волны - фазовой или групповой - следует отождествлять скорость частицы?

6. Исходя из гипотезы де Бройля, вывести выражения, связывающие импульс частицы с волновым вектором и энергию с частотой.

7. Применима ли рассматриваемая теория для релятивистских частиц? нерелятивистских частиц?

8. Будет ли различаться длина волны де Бройля для одного электрона и для большого числа электронов, движущихся в электронном пучке с той же скоростью?

9. Может ли одиночный электрон создать полную дифракционную картину?

10. Каковы особенности применения понятия "траектория" в микромире? Как они связаны с принципом неопределенности?

612. МОДЕЛИРОВАНИЕ рАсПРеДеления

элеКТРОННОГО ЗАРЯДА В АТОМЕ ВОДОРОДА

612.I. Цель работы

Изучение особенностей движения микрочастиц, наблюдение на практике вероятностного характера законов квантовой механики, практическое применение способа описания движения микрочастиц, основанного на понятии волновой функции. Проверка применимости боровской модели атома.

612.2. Разделы теории

Принцип неопределенности. Уравнение Шредингера. Физический смысл волновой функции. Квантование энергии и момента импульса. Атом водорода. Боровская теория атома водорода. Принцип Паули. Спин электрона. Распределение электронов по энергетическим уровням. [1. Гл. 3, §17, Гл. 4, §20 - §24, §28, §36]; [2. Гл. 28, §213 - §237]

612.3. Приборы и принадлежности

Персональный компьютер. Работа выполняется методом численного моделирования.

612.4. Теоретическое введение

Атом водорода является простейшим из всех атомов. Он состоит из одного протона и одного электрона. Согласно боровской теории атома, электрон может двигаться вблизи ядра (в данном случае - протона) по определенным орбитам, радиусы которых определяются выражением

, (612.1)

где  - радиус орбиты с номером n;  - масса электрона; е - его заряд;  =  - постоянная Планка; n - главное квантовое число, которое может принимать ряд целых значений.

Энергия электрона в атоме водорода согласно теории Бора определяется по формуле

. (612.2)

Боровская теория, однако, не может объяснить всех свойств атомов, так как она содержит в себе внутреннее противоречие между попыткой описать движение электрона на языке классической механики и экспериментально доказанным квантовым характером излучения атомов. Эта теория противоречит также экспериментам по дифракции электронов, которые убедительно подтверждают наличие у электронов волновых свойств.

Решить задачу о движении электрона в атоме водорода удается с помощью уравнения Шредингера. Это уравнение, записанное для атома водорода, имеет вид

 = 0, (612.3)

где  - волновая функция электрона; r - расстояние до ядра.

Электрическое поле протона, в котором движется электрон, в данном случае сферически симметрично, поэтому состояние электрона можно характеризовать набором из трех квантовых чисел n, l, m, где n - главное квантовое число, l - орбитальное квантовое число (иногда его называют азимутальным квантовым числом), m - магнитное квантовое число. Волновые функции электрона в атоме в сферических координатах можно записать в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от расстояния до ядра r, а другой - только от углов  и j

. (612.4)

Здесь  зависит от квантовых чисел n и l, a  - от l и m. В сферической системе координат функции  и  могут быть найдены независимо.

Вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV, определяется ее волновой функцией

. (612.5)

Так как радиальная составляющая волновой функции Rnl(r) действительна, а элемент объема в сферических координатах

, (612.6)

где  - элемент телесного угла, и так как интегрирование по угловым переменным функций дает единицу, вероятность обнаружить электрон в тонком шаровом слое на расстоянии r от ядра равна

. (612.7)

Функция P(r), которая, как это видно из формулы (612.7), имеет смысл плотности вероятности, и рассчитывается в данной работе. Для этого численно решается уравнение Шредингера и определяется волновая функция Rnl(r), а затем вычисляются значения Pnl, в зависимости от r.

612.5. Описание установки и методика

проведения расчетов измерения

Лабораторная работа выполняется методом численного моделирования на персональном компьютере. Но сначала надо получить допуск у преподавателя.

В начале работы на экране монитора вы увидите главное

меню (рис. 612.4). В меню «О программе» приводятся справочные данные о программе и ее авторах. Меню «Выход» служит для выхода из программы. При выполнения работы вам необходимо пользоваться разделами меню «Данные» - для ввода исходных данных, и «График» – для просмотра графического и табулированного результатов расчетов. Передвижение по главному меню осуществляется при помощи клавиш «¬», «­», «®» и «¯». Вход в каждое меню осуществляется при помощи клавиши «Enter».

Рис. 612.4

Войдя в меню «Данные», на экране вы увидите сообщение: «Введите значение главного квантового числа». Необходимо ввести это значение с клавиатуры. После ввода главного квантового числа n, необходимо определить энергию исследуемого состояния. Прежде чем вводить значение этой энергии, ее следует выразить через Е0 – модуль энергии основного состояния электрона в атоме водорода (см. (612.2)) (Е = А×Е0). Значение А надо вводить в ответ на запрос компьютера: "Пусть Е0 – энергия основного состояния электрона в атоме водорода. На какое число А надо умножить Е0, чтобы получить энергию исследуемого состояния?".

Помните, что для связанных состояний электрона в атоме полная энергия отрицательна. Далее, по запросу компьютера, нужно ввести значение орбитального квантового числа l.

Внимание. Проверка на правильность введенных значений не производится, и программа работает, если это возможно, с любыми введенными с клавиатуры значениями.

Получив значения главного квантового числа n, энергии исследуемого состояния и значение орбитального квантового числа l, программа предлагает вам выбрать формулу, по которой вычисляется потенциал электрического поля ядра атома водорода. Правильной является только одна из пяти прелагаемых формул, но вычисления могут быть выполнены с использованием каждой из них. В формулах под е подразумевается модуль элементарного заряда. Помните, что заряд электрона отрицателен, потенциальная энергия в случае действия сил притяжения также меньше нуля.

После этого компьютер численно решает уравнение Шредингера и определяет радиальную часть Rnl(r) волновой функции (612.4) и распределение плотности вероятности P(r) нахождения электрона в тонком сферическом слое толщиной dr, на расстоянии r от ядра (612.7). По окончании решения задачи, на экране появляется главное меню. Переходя в меню «График» и войдя в него, на экране появляется график полученной зависимости P(r). Правильность полученных результатов определятся либо самостоятельно, либо преподавателем. Это можно сделать, основываясь лишь на свойствах P(r). Для просмотра таблицы результатов необходимо нажать клавишу «Enter», а затем на вопрос «Выводить таблицу?» (Y/N) ответить «Y». Вычисления P(r) проводятся с достаточно мелким шагом по r, а на экран выводятся только 40 значений P(r). Сначала выводятся первые 20 точек. Для просмотра оставшихся 20 точек необходимо еще раз нажать клавишу «Enter». Значения r в таблицах приводятся в боровских радиусах. Для выхода в главное меню нажмите клавишу «Enter».

612.6. Порядок выполнения работы

1. Исследовать распределение плотности вероятности нахождения электрона в тонком сферическом слое толщиной dr, на расстоянии r от ядра для трех состояний в соответствии с номером своей бригады, приведенным в таблице.

Таблица

Номер бригады

Исследуемые состояния

1, 7

1s

3s

2p

2, 8

2s

2p

3d

3, 9

1s

2s

3d

4, 10

2s

3p

1s

5, 11

3s

2p

3p

6, 12

1s

2p

2s

2. Записать значения r и P(r), полученные при моделировании. Можно записать не все значения, выводимые на экран, а столько, сколько необходимо для достаточно точного построения графика. При этом также можно ограничиться записью значений P(r) и r с точностью до двух значащих цифр.

3. Построить по полученным значениям графики P(r) для трех исследуемых состояний. По оси r отложить радиусы боровских орбит, соответствующих исследуемым состояниям.

При рассмотрении проблемы электромагнитного излучения твердых тел классическая физика столкнулась с непреодолимыми трудностями. Данные теоретических расчетов существенно не совпадали с экспериментальными данными в области коротковолнового диапазона излучения.
Лабораторные работы по оптоэлектронике Квантовая физика