Физика раздел Электростатика

Теорема Остроградского-Гаусса

Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:

(2.15)

Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен

,

а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть

(2.16)

Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.

Рис. 2.8

Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным.

Тогда полный поток через поверхность S=S1+S2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.

Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным

и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему

Тогда получим следующее выражение

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать

(2.17)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.

 

1. Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Между обкладками конденсатора вставляется диэлектрическая пластина, толщина которой меньше, чем расстояние между обкладками. При этом пластина не касается обкладок конденсатора. Как изменяется при этом сила взаимодействия пластин конденсатора?

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике