Физика раздел Электростатика

Теорема Гаусса

Пусть поле E возбуждается точечным зарядом q, находящимся в начале координат. Вычислим поток вектора E через элемент dS произвольной поверхности:

(2.3)

 

Рис. 2.3

Произведение численно равно проекции dS на поверхность, перпендикулярную к радиус-вектору, причем оно положительное, если угол между радиус-вектором и нормалью острый, и отрицательное, если - тупой.

Площадка dS' совпадает с элементом шаровой поверхности. Тогда, по определению, телесный угол

(2.4)

откуда

(2.5)

Если считать телесный угол dположительным, когда из точки О видна внутренняя сторона dS, и отрицательным, когда - внешняя, то знак ± в выражении (2.5) исчезает:

(2.6)

Итак, в поле точечного заряда q поток вектора E через произвольно ориентированную площадку dS зависит, помимо величины этого заряда, только от телесного угла, положительного или отрицательного, под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки О. Полученный результат является следствием того, что напряженность поля E направлена радиально и при удалении от заряда убывает по тому же закону (обратно пропорционально квадрату радиуса), по которому изменяется телесный угол.

Для конечной поверхности поток получается интегрированием выражения (2.6) по всей поверхности:

(2.7)

где положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из точки расположения заряда вся поверхность S, т.е. телесный угол, образованный радиус-векторами, проведенными из точки расположения заряда к краевой линии этой поверхности.

 

Рис. 2.4

Если заряд расположен внутри замкнутой поверхности S, то эта поверхность окружает его со всех сторон и, стало быть, телесный угол = 4

Если же заряд расположен в точке О, лежащей вне замкнутой поверхности, то совокупность касательных к этой поверхности, проведенных из точки О образует конус, соприкасающийся с поверхностью вдоль некоторой линии, которая разделит поверхность S на две части: S1 и S2. Обе части будут видны из точки О под одним и тем же телесным углом, соответствующем раствору конуса, причем одна из этих частей будет видна с ее внутренней стороны, а другая - с внешней. Таким образом, этим частям будут соответствовать равные по величине и противоположные по знаку телесные углы. Поэтому и потоки через S1 и S2 будут равны по величине и противоположны по знаку и в сумме дадут нуль.

 

Рис. 2.5

Оба рассмотренных случая могут быть выражены одной формулой

(2.8)

где q - заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности, а вектор элемента площади определен как

(2.9)

Если поле создано системой зарядов, то согласно принципу суперпозиции (см. 1.5) поток, создаваемый всеми зарядами, может быть записан как

(2.10)

Но, согласно (2.8)

(2.11)

Тогда полный поток равен

(2.12)

Теорема Гаусса: в произвольном электростатическом поле в вакууме поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен , где q - суммарная величина заряда внутри этой поверхности.

На первый взгляд не очевидно, каким образом теорема Гаусса может помочь в определении напряженности поля E заданной системы зарядов. Действительно, неизвестная величина E стоит в (2.12) под знаком интеграла, т.е. в общем случае для ее нахождения нужно решать интегральное уравнение. Существуют, однако, некоторые специальные случаи, когда в силу соображений симметрии можно заранее указать направление вектора E в каждой точке пространства. Тогда для определения напряженности поля в некоторой точке P поступают следующим образом. Выбирают некоторую мысленную поверхность S, на которой лежит точка P, так, чтобы:

угол между нормалью к этой поверхности и вектором E был известным;

модуль вектора E в тех точках поверхности, в которых угол между нормалью к поверхности и вектором E не равен  был постоянным.

Тогда интеграл по тем частям поверхности, на которых E перпендикулярно к элементу поверхности, будет равен нулю из-за равенства нулю косинуса в скалярном произведении EdS, а при интегрировании по остальной части поверхности модуль Е можно вынести из-под знака интеграла. В результате остается просто вычислить площадь этой части поверхности и получится алгебраическое уравнение, из которого и найдется значение модуля напряженности поля в заданной точке пространства. Все вышесказанное иллюстрируется следующим примером.

Рис. 2.6

Пусть имеется бесконечная плоскость, равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда Требуется найти напряженность поля в точке P на расстоянии l от плоскости. Прежде всего заметим, что для бесконечной плоскости вектор должен E быть направлен по нормали к поверхности в любой точке.Действительно, все направления вдоль плоскости совершенно равноправны и потому, если бы у вектора E была составляющая вдоль плоскости, то нельзя было бы указать, куда она направлена. С другой стороны, при наличии такой составляющей на заряды действовала бы сила, и вдоль плоскости возник бы электрический ток, чего в отсутствие внешнего воздействия быть не может.

В качестве мысленной замкнутой поверхности, по которой будет проводиться интегрирование, выбирается цилиндр (или параллелепипед) таким образом, чтобы образующая была нормальна к плоскости, а основания параллельны ей и расположены на равных расстояниях l от плоскости (рис.2.6). Высота цилиндра 2l должна быть такой , чтобы точка P лежала на его основании.

Поток вектора E через выбранную поверхность можно представить как сумму потоков через боковую поверхность и основания цилиндра:

,

где учтено, что в силу симметрии модули векторов E' и E'' равны (E'=E"=E), и оба вектора коллинеарны нормалям к соответствующим основаниям. Поскольку вектор E перпендикулярен к нормали, проведенной к любому элементу dS на боковой поверхности цилиндра, то Фбок = 0, так как во всех точках боковой поверхности скалярное произведение EdS равно нулю . На основаниях цилиндра имеем

EdS= E dS cos(0) = EdS ,

причем модуль Е одинаков в любой точке основания. Тогда поток через каждое из оснований равен

,

а полный поток через всю поверхность цилиндра будет в два раза больше.

Заряд, находящийся внутри цилиндра равен, очевидно, q = S . Тогда, согласно теореме Гаусса,

2ES=  S /

откуда E = / Заметим, что результат оказался не зависящим от расстояния l, т.е. электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости оказывается однородным.

Подобным образом находится напряженность поля и в случае бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра, для которого поле обладает осевой симметрией, и в случае равномерно заряженного шара, т.е. в случае центральной симметрии.

 

1. Плоский воздушный конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Между обкладками конденсатора вставляется диэлектрическая пластина, толщина которой меньше, чем расстояние между обкладками. При этом пластина не касается обкладок конденсатора. Как изменяется при этом сила взаимодействия пластин конденсатора?

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике