Механика | Электростатика | Оптика | Колебания | Электромаг. поле | Физика | Материаловедение | Дифракция | Поляризация | Главную
Интерференция | Радиоактивность | Волны | Термодинамика | Электростатика | Ядерная физика | Строение атома | Математика

Лекции по физике Прикладная математика и физика

Мы с вами обсудили некоторые аспекты физики систем атомных масштабов, волновые свойства частиц, квантование энергии, туннельный эффект… Это всё были отдельные фрагменты, не связанные более-менее друг с другом, это ситуация на заре создания теории, когда обнаружилась длина волны де Бройля, интерференция. И многого мы вообще не знаем, например, знаем волновую функцию, а что мы получим при измерении импульса? Мы ещё не умеем отвечать на такие вопросы. Сейчас мы обсудим как устроена окончательная теория.

От первой модели атома Бора и до окончательной формулировки теории прошло 10-12 лет,1) и мы сейчас обсудим, как вообще строится вся эта теория.

 

Если сравнивать с классической механикой, раз нет траектории, скоростей, ускорений, сил, то понятно, что математическая структура должна быть другой.2) Можете сейчас забыть про классическую механику, можете даже забыть то, что мы до сих пор тут обсуждали, и сейчас мы снова будем смотреть незамутнённым взглядом на новую теорию. И тут нужны некоторые  математические подмостки 

Векторы и операторы 

Вы знаете векторную алгебру (линейную алгебру), и заодно вы увидите, что не зря вы её изучали, оказывается, есть к чему её применить.

[an error occurred while processing this directive]

Обозначения:

 

 – вектор a в n-мерном (может быть, бесконечномерном) абстрактном пространстве. Столбец из n чисел  задаёт компоненты вектора a в n-мерном пространстве. Когда вы видите такую штуку , это означает, что мы имеем набор n чисел, которые можно организовать в матрицу-столбец.

 

 – вектор сопряжённый , это матрица-строка .3)

Удобство этих обозначений состоит вот в следующем:  – это число, скалярное произведение двух векторов: . Ясно, что такая штука  – скалярное произведение вектора на сопряжённый ему вектор, это будет действительное число, . А вообще, кстати, ясно следующее, что .

 

Такое равенство  расшифровывается так: есть правило, которое вектору  ставит в соответствие вектор , и это правило обозначают буквой . Говорят, на вектор  действует некоторый оператор, в результате действия которого, мы получаем вектор .

Если имеет место такое равенство , то оператор называется линейным.1) Дальше, когда идёт речь об операторах, имеются в виду только линейные операторы.

Каким образом можно задать это правило, то есть как можно задать оператор? Если оператор  линейный, то вот такой строчкой: . Эта строчка – сжатое изображение вот такого: . Значит, любой линейный оператор будет представлен квадратной матрицей размерности . Задайте квадратную таблицу , любых чисел навтыкайте туда, эта матрица представляет линейный оператор.

Любая матрица  представляет некоторый оператор , из неё можно получить другие матрицы, например, можем устроить транспонированную матрицу (отобразить её относительно главной диагонали), получим другую матрицу, то есть другой оператор. Можно не только сделать транспонированную матрицу, а сначала транспонировать и взять ещё комплексно сопряжённые элементы, ещё одну матрицу получим, получим другой оператор снова.

Если матрица оператора  получается из элементов матрицы оператора   с помощью транспонирования и комплексного сопряжения элементов: , то оператор  называется эрмитово сопряжённым к оператору .

Если , тогда оператор  называется самосопряжённым или эрмитовым.1)

Если , где α – число, то вектор  называется собственным вектором оператора , а αсобственным значением, отвечающим этому собственному вектору.2)

 

Оказывается, что эрмитов оператор , то есть оператор, для которого верно вот такое равенство , имеет n собственных векторов, которые будем обозначать , при этом собственные значения, отвечающие этим векторам действительны, то есть  и . И ещё замечательная вещь такая: скалярное произведение двух собственных векторов равно: , собственные векторы эрмитова оператора ортогональны, а соответствующие им собственные значения действительны. Это наш реквизит, это факты математические, а теперь возвращаемся к физике.

Формула Планка. Теоретическая зависимость спектральной плотности излучения черного тела от частоты, совпадающая с экспериментальными данными, получена Максом Планком на основе чуждого классической физике предположения, что атомы излучают энергию только определенными порциями - квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте излучения.
Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике