Механика | Электростатика | Оптика | Колебания | Электромаг. поле | Физика | Материаловедение | Дифракция | Поляризация | Главную
Интерференция | Радиоактивность | Волны | Термодинамика | Электростатика | Ядерная физика | Строение атома | Математика

Оператор энергии

У нас был один из постулатов, что существует оператор , который называется гамильтонианом и который определяет динамику системы, то есть изменение вектора состояния  за единицу времени получается как результат действия оператора  на вектор состояния в данный момент времени:

 

 

Это аналог Второго закона Ньютона. Этот оператор  что такое?

 

Для частицы в потенциальном поле сил гамильтониан H – это полная энергия частицы, выраженная через координаты и импульс: . Тогда оператор  по нашему рецепту будет:

 

 

Задача на собственные векторы оператора энергии ставится так: оператор действует на вектор , даёт число , : . В координатном представлении векторы  задаются функциями : . Для частицы в связанном состоянии спектр собственных значений оператора энергии дискретен (энергия в этом случае квантуется), в несвязанном состоянии спектр собственных значений непрерывен (энергия не квантуется). То есть, если частица может уйти на бесконечность, то любое действительное число может представлять её энергию, а если не может уйти на бесконечность, то тогда энергия может принимать определённые значения. Как найти эти собственные значения и собственные векторы?

В координатном представлении оператор  изобразится так:

 

 

Тогда уравнение  на собственные значения перепишется в координатном представлении таким образом: . Сейчас мы его перепишем так: . Это уже знакомое уравнение, это уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это означает то, что мы с вами делали, мы решали задачу на собственные значения оператора энергии.

 

Для свободной частицы должно оказаться, что спектр собственных значений непрерывен, проверим. Для свободной частицы никакой потенциальной энергии нет: . Тогда задача на собственные векторы приводит к такому уравнению:  (я не пишу индексы, потому что на самом деле они и не появятся) или , обозначим , тогда легко убедиться, что функция  является решением этого уравнения.1)

Собственные значения нумеруются вектором , мы можем написать так: ,  или в координатном представлении . Мораль такая: задайте любой вектор , этому вектору будет отвечать функция  с таким собственным значением: . И, действительно, мы видим, что спектр собственных значений непрерывен, потому что вектор   любой.

Формула Планка. Теоретическая зависимость спектральной плотности излучения черного тела от частоты, совпадающая с экспериментальными данными, получена Максом Планком на основе чуждого классической физике предположения, что атомы излучают энергию только определенными порциями - квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте излучения.
Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике