Решётка Браве. Обратная решётка

Чем замечателен идеальный кристалл? Тем, что в нём возможны сдвиги, при которых вся эта структура переходит в себя (в узлах могут быть сложные группы атомов, они тоже переходят в себя).

Кристалл – это трёхмерная структура, три вектора , не лежащих, естественно, в одной плоскости, такие, что при сдвиге на вектор , где n₁, n₂, n₃ – любые целые числа, структура переходит в себя, задают элементарную ячейку кристалла, объём этой ячейки равен

Данной решётке ставится в соответствие обратная решётка  с такими условиями: . Объём ячейки обратной решётки из геометрических соображений будет равен .

Симметрия кристалла позволяет получить важную теорему Блоха: волновые функции стационарных состояний электронов в твёрдом теле имеют вид , при этом пространственная функция  обладает таким свойством периодичности: .

Что эта волновая функция из себя представляет в одномерном случае? Функция  для частицы в пустом пространстве это плоская волна, её амплитуда промодулирована вот такой пространственной функцией   с периодом решётки , амплитуда должна быть больше в местах нахождения атомов и меньше там, где их нет, то есть в промежутках.

Вот примерно такая волновая функция электронов, она максимальна в окрестности атома, там плотность вероятности обнаружить электрон больше, но в общем-то она не равна нулю в межатомных промежутках. Это просто означает, что электроны в твёрдом теле уже не принадлежат атомам, каждый электрон – житель всей этой решётки, волновая функция электрона размазана по всему образцу. Понятно почему: атомы это соседние потенциальные ямы, разделённые потенциальным барьером, но есть туннельный эффект.