Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример Найти площади фигур, ограниченных окружностью   и параболой  

Подпись:

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Перепишем уравнение данных кривых в виде

  , 

Следовательно, центр окружности лежит в точке С(1, -2) и радиус окружности равен 4, а ось параболы совпадает с прямой  и вершина параболы  лежит в точке (1,) (рис.1.12).

Площадь  меньшей фигуры находим по формуле  ,

где   и  определяются из системы уравнений 

откуда . Следовательно,

.

Лабораторная работа №3. Вычисление площади поверхности.

Если поверхность задана уравнением  и её проекция на плоскость  есть область D, то площадь поверхности вычисляется по формуле  или . .

 Аналогично, если поверхность задана уравнением , то 

, где   проекция поверхности  на плоскость  . Если уравнение поверхности имеет вид  то , где  проекция поверхности  на плоскость .

Пример 6. Найти площадь части конуса , заключённой внутри цилиндра Находим частные производные из уравнения конуса: ; .

Областью интегрирования D является круг, ограниченный окружностью   или , то есть центр окружности в точке (1;0) и радиус равен 1.

Двойной интеграл удобнее считать в полярных координатах. Окружность

в полярных координатах имеет вид . Тогда = (Площадь круга равна  

У нас ).

Лабораторная работа № 4. Вычисление длины кривой

Если плоская кривая AB задана параметрическими уравнениями  . , где  и  дифференцируемые функции, причём точке A соответствует , точке B значение , то длина кривой находится по формуле 

Для пространственной кривой , заданной уравнениями  справедлива аналогичная формула 

Если кривая AB задана уравнениям , то .

В случае задания плоской кривой в полярной системе координат , то её длина находится по формуле 

Пример 7. Найти длину кривой .

В данном случае целесообразно перейти к заданию кривой в полярных координатах.

Уравнение окружности имеет вид .

.

Замечание Уравнение  или  задаёт окружность с центром в точке (1;0) и радиусом R=1. Известно, что длина окружности равна .

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике