Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями  ,  ,то площадь фигуры вычисляется по одной из трех формул

: 

где   и  - значения параметра , соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при ко-тором фигура остается слева). 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

Р е ш е н и е. Здесь удобно вычислить сначала  . Отсюда 

 

Пример 3. Найти .

Решение. Этот интеграл находят двухкратным интегрированием по частям. Причем повторное применение формулы интегрирования по частям приводит к уравнению искомого интеграла.

Обозначим искомый интеграл буквой I и, полагая u=cos x; dv=ex×dx; du = –sin x×dx; v = ex, получим

.

Перенеся I в левую часть равенства и разделив на 2, найдем

.

Замечание. К числу интегралов, вычисляемых интегрированием по частям, относятся, например, интегралы вида

где P(x) – многочлен (в частности, степенная функция хn); f(x) – одна из следующих функций: eax, sin ax, cos ax, ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 4. Найти .

Решение. Нахождение данного интеграла от рациональной дроби  можно условно разбить на 3 этапа:

I этап. Если дробь неправильная, т. е. степень числителя P(x) больше или равна степени знаменателя Q(x), выделяют целую часть рациональной дроби R(x), деля числитель P(x) на знаменатель Q(x) по правилу деления многочлена на многочлен.

Тогда .

Данная дробь неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя, поэтому выделяем целую часть:

 

  

 

  

 

 х

 

Таким образом,  = .

II этап. Правильную дробь  разлагают на простейшие дроби. Для этого находят корни уравнения Q(x) = 0 и разлагают знаменатель Q(x) на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

 (2)

В этом разложении знаменателя Q(x) множители первой степени соответствуют действительным корням, а множители второй степени – парам мнимых сопряженных корней. Коэффициент при наибольшей степени х в знаменателе Q(x) можно считать равным единице, ибо этого всегда можно добиться, деля на него P(x) и Q(x). Разумеется, если знаменатель Q(x) уже представлен в виде (2), корни искать излишне. После этого правильная дробь разлагается на простейшие по формуле

 , (3)

где А1, А2,..., М1, N1, ... – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Дроби приводят к общему знаменателю Q(x) и приравнивают числители обеих частей равенства (3). Затем сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Это приводит к системе уравнений, из которой и находятся значения интересующих нас коэффициентов.

В нашем примере правильная остаточная дробь

.

Знаменатель правильной дроби разлагается на множители следующим образом:

.

По формуле (3) каждому множителю знаменателя вида (х – а) в разложении правильной дроби на простейшие соответствует слагаемое вида , поэтому в данном случае получится разложение

.

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим тождество

.

Коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества должны быть равны, поэтому, отмечая за чертой слева при каких степенях х сравниваются коэффициенты, получим систему уравнений

Из третьего уравнения системы А = 2. Подставляя значение А в первое уравнение и сокращая второе на 2, будем иметь:

B + C = 2; B – C = 9 Þ B = 5; C = –3.

III этап. Находят интегралы выделенной целой части и всех простейших дробей, которые затем складывают.

Заменяя под знаком интеграла остаточную дробь ее разложением на простейшие дроби и находя нужные интегралы, последовательно получим

.

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике