Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример . Найти площадь астроиды  

Р е ш е н и е. Запишем уравнение астроиды в параметрическом виде . Здесь тоже удобно вычислить сначала.  Отсюда 

Пример . Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды  и осью .

 Р е ш е н и е. Здесь граница фигуры  состоит из дуги циклоиды  и отрезка  оси  . Применим формулу . Так как на отрезке оси  имеем  то остается вычислить интеграл (с учетом направления обхода  границы):

Пример 5. Найти .

Решение. Подынтегральная дробь правильная, ее знаменатель разлагается на множители по формуле суммы кубов . По формуле (3) имеем

,

откуда .

Сравнивая коэффициенты, составим систему уравнений

найдем А = 2; М = 0; N = –1, поэтому

 = .

В последнем интеграле подстановка  dx = dt дает

Пример 6. Найти .

Решение. Данный интеграл от тригонометрических функций вида  чаще всего «берется» с помощью универсальной тригонометрической подстановки: , тогда .

=

   =

.

Пример 7. Найти .

Решение. Рекомендуемая подстановка соs x = t

 =

=

 =

Пример 8. Найти .

Решение. Рекомендуемая подстановка t = tg x,

тогда ;

.

=   =

 

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике