Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

 Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

 Подпись:                       Рис. 2.1.
                      Рис. 2.1
          

   Р е ш е н и е. Для построения кривой учтем, что она симметрична относительно осей координат. Действительно, если заменить  на  то переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак; следовательно, кривая симметрична  относительно оси . При замене же  на  переменная  не меняется, а  изменяет только свой знак. Это значит, что кривая сим­метрична  относительно оси . Далее, так как функ­ции  имеют общий период , то достаточно ограничится следующим отрезком изменения параметра: . Из уравнений кривой  легко заключить, что переменные   и  одновременно сохраняют неотрицательные  значения только при изме­нении параметра  на отрезке  поэтому при  получается часть кривой, лежащая в первой четверти. Общий  вид кривой изображен на рис.2.1. Как видно из этого рисунка, достаточно вычислить  площадь одной петли кривой, соответствующей изменению параметра  от  до , и затем удвоить результат

Пример 9. Найти .

Решение. Применяя формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму, получим

 =  

Пример 10. Найти .

Решение. Применяя понижение степени тригонометрических функций, имеем

 =

Так как  получаем

 =

Пример 11. Найти .

Решение. Данный интеграл от иррациональной функции вида , где функция R рациональна относительно своих аргументов. Рекомендуемая подстановка x=t k, где k – общий знаменатель дробей , т. е. k = 6, поэтому делаем подстановку х = t 6, dx = 6t 5 dt, тогда

=

Пример 12. Найти 

Решение. Рекомендуемая подстановка  дает

 .  Поэтому

Пример 13. Найти .

Решение. Замечая, что , получим

=

.

Для нахождения  применим подстановку t = x + 1, тогда x = t – 1; dx = dt.

=

.

Окончательно получаем

=

 

 

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике