Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Пример. Найти площадь петли кривой:  ; .

Подпись:                   Рис. 2.2.           

   Р е ш е н и е. Нас будет интересовать общий вид кривой и точки ее самопересечения. Обе функции  и  определе-ны всей числовой оси . Точка самопересечения характерна тем, что в ней совпа-дают зна­чения абсциссы (и ординаты) при разных значе-ниях параметра.  Так как , то абсциссы сов-падают при значениях параметра  . Чтобы функция   принимала при тех же значениях параметра  одно и то же значение, должно выполняться равенство при , откуда . Таким образом, при  и при  имеем  и , т.е. точка (0, 0) является единственной точкой самопересечения. Когда  меняется от 0 до 6, точки кривой лежат в первой четверти.  При изменении  от 0 до 3, точка  описывает нижнюю часть петли, так как в указанном промежутке  и  возрастают, а затем функция  начинает убывать, в то время как   сначала еще возрастает. На рис. 2.2 указан обход кривой, соответствующий возрастанию   (фигура остается слева). Площадь искомой петли удобно искать по формуле.

Задача 8.3. Вычислить интеграл, перейдя от прямоугольных координат к полярным:

 .

Решение. Найдем границы области интегрирования в декартовых координатах.

Преобразуем 

Преобразуем 

Изобразим область интегрирования:

 Для расстановки пределов интегрирования в полярных координатах учтем, что область D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности , уравнение которой с учетом связи декартовых и полярных координат  примет вид т.е. .

D ограничена также лучами  Поэтому требуемый интеграл Iв полярных координатах получится из исходного с помощью связи декартовых и полярных координат и домножения на   подынтегральной функции внутреннего интеграла по , учитывающего искажение элемента площади в полярных координатах. В других примерах для расстановки пределов интегрирования, использовать, по аналогии с декартовыми координатами, рассечение D лучами, выходящими из центра полярной системы координат. Если они пересекутся с границей D не более чем в двух точках, то эта область - правильная по ,  и пределы в повторном интеграле с внутренним интегралом по  и внешним по  расставляются аналогично расстановке по у и  х в случае декартовых координат. 

 Процесс вычисления двухкратного интеграла в полярных координатах после замены пределов интегрирования и подинтегральных выражений сведется к следующему:

.

 

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике