Площадь в полярных координатах

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой   и лучами  и , выражается интегралом  

Пример . Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и Подпись:                    Рис.3.1            

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Введем полярную систе­му координат, поместив полюс в фокус параболы F и направив полярную ось в положительном направлении по оси  Ох. Тогда, как известно, уравнение параболы запишется в виде , где  параметр параболы. В нашем случае , а фокус F имеет координаты . Значит, уравнение параболы при­мет вид  , а уравнения пря­мых примут вид  и  (рис.3.1). Поэтому . Заменив Подпись:                

      
            1
  , получимили,  учитывая, что ,.

 

 

Задача 8.5. 1) Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

 где

Решение. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено  к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования L. Если L задана уравнением   где функция  имеет непрерывную производную  для , то

 

Если L задана параметрически:  где функции имеют непрерывные производные , для  то

 

Если L задана в полярных координатах уравнением  и функция имеет непрерывную производную  для , то

 

В рассмотренном примере используется явное задание кривой L уравнением .  Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

 2) Вычислить работу силы  при перемещении материальной точки по кривой   от точки А(0;0) до точки В(1;1).

Решение. Работа переменной силы  по перемещению материальной точки по плоской кривой L c уравнением  вычисляется с помощью криволинейного интеграла 2-го рода по координатам

 

который сводится к определенному интегралу с учетом способа задания кривой L. В приведенном примере кривая L задана явно уравнением . Поэтому, по аналогии с переходом к определенному интегралу в предыдущем примере, достаточно заменить:

. Получим:

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике