Площадь в полярных координатах

Пример. Найти площадь фигуры, лежащей вне круга   и огра­ниченной кривой .   Подпись:  

                   Рис.3.2
          

    Р е ш е н и е. Так как функция  имеет период , то при изменении  от  до  радиус-вектор описывает три рав­ных лепестка кривой. При  этом допустимыми для  являются те значения, при которых , откуда Следовательно, один из лепестков опи­сывается при изменении  от  до . Остальные два лепестка полу­чаются при изменении   от  до  и от  до  соответственно (рис. 3.2). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы полу­чим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади Найдем полярные координаты точек пересечения М и N. Для этого  решим уравнение  т.е. . Между  и  находятся  только корни  и . . Таким образом, точке N соответствует полярный угол , точке М — угол .Далее из рисунка заключаем, что

 

Задача 8.6. а) Вычислить площадь части сферы , вырезанной цилиндром  и плоскостью 

Решение. Область D является кругом (рис.2), поэтому решаем задачу в полярных координатах. Тогда Элемент площади плоской области dS выражается в полярных координатах в виде: . Полярное уравнение окружности, ограничивающей область интегрирования, будет иметь вид:

. Так как область интегрирования содержит начало полярной системы точку О на своей границе, то вычисляем площадь поверхности  с помощью поверхностного интеграла 1-го рода:

Рис. 1 Рис. 2

б) Найти поверхностный интеграл 2-го рода  где замкнутая поверхность  состоит из внешней стороны части поверхности параболоида  а также из части плоскости

Решение. Применяем формулу Остроградского-Гаусса к поверхностному интегралу 2-го рода I:

В векторной форме формула Остроградского-Гаусса имеет вид: 

 

где в левой части – поток П векторного поля  через замкнутую поверхность а

 

Но тогда  где векторное поле  имеет вид: 

 Но  

Рис. 3.

 Следовательно,  

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике