Площадь в полярных координатах

Пример. Найти площадь петли декартова  листа .  Подпись:  

                   Рис.3.5
             

Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным фор­мулам   , .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или

01 12
. Из этого уравнения вытекает, во-первых, что  при  и при  и, во-вторых,  при и . Последнее означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой  можно найти обычным обра­зом в декартовых координатах.Следовательно, петля декартова ли­ста описывается при изменении   от 0 до  и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом, искомая площадь равна  Пользуясь симметрией кривой от­носительно биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины петли (от  до ) и затем удвоить ее. Это позволит воспользоваться  заменой 
  01

, ,  что дает. Новая замена, приводит к интегралу.

Типовые примеры и их решения

Пример 1. Найти неопределенный интеграл  Результат проверить дифференцированием.

Решение. Для нахождения неопределенного интеграла  предварительно разложим подынтегральную функцию на сумму функций. Так как

,

то  =

.

Замечая, что d(1 – x2) = –2xdx, находим xdx= . Предположив arcsin x = u, получим

.

Проверка: 

Пример 2. Найти .

Решение. Этот интеграл «берется» по частям по формуле

. (1)

Здесь перед нами несколько возможностей. Если положить u=x; dv = sin x×dx, тогда du = dx; v =. Используя формулу интегрирования по частям, имеем

Замечание. Если в этом примере мы возьмем u=sin x; dv=x×dx; du=cos x×dx и ,

то  = .

Это разбиение подынтегрального выражения на произведение двух сомножителей следует считать неудачным, так как степень х в интеграле повысилась и получился интеграл более сложный, чем исходный.

 

Метод интегрирования по частям Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции Метод интегрирования по частям может применяться в одном примере несколько раз. Замечание 2. Иногда повторное интегрирование по частям приводит к уравнению искомого интеграла

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике