Вычисление обьема тела

Пример. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

  Р е ш е н и е. Кардиоида изображена на рис.2.3 Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Ох (она же и полярная ось) фигур MNKLO и OKLO.

 Перейдем, как и в предыдущей задаче, к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол :

,

.

Очевидно, что абсцисса точки М равна 2а (значение х при ). Абсцисса же точки К есть значение минимума функции .

  Найдем этот минимум:

,

.

 При  получаем , при  получаем .

 Следовательно, искомый объем равен

.

Делая замену , получим

,

Таким образом:

 

 

 

 

  0

 

 

  0

   

Кратные интегралы

Цилиндрические и сферические координаты для вычисления тройных интегралов

Приложения тройного интеграла

Пример 1. Вычислить двойной интеграл  по прямоугольной области D, ограниченной прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (31):

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по отрезку [0, 1]:

.

Обычно вычисление внутреннего интеграла отдельно не делают, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:

.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = 2, z = y и гиперболой .

Решение. Область D (рис. 23) является простой относительно оси 0у. Она имеет нижнюю границу  и верхнюю границу z=y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] z меняется от  до z=y, поэтому имеем

.

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике