Вычисление обьема тела

 Пример. Определить объем эллипсоида

 Р е ш е н и е. Сечение эллипсоида плоскостью  есть эллипс (рис. 4.1)

 

с полуосями ; . Следовательно, пло-щадь сечения (см.пункт 2 пр.1)

.

Поэтому объем эллипсоида равен

.

Положив, в частности, , получим объем шара .

 

Подпись:

 

Задача 9. Вычислить определенные интегралы.

При ,

При ,

Отсюда

 

Задача 10. Вычислить определенные интегралы.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где область D ограничена прямыми x = 0, y = 1 и кривой x = ln y.

Решение. Область D (рис. 24) является простой относительно оси 0у. Она имеет левую границу х = 0 и правую границу x = ln y. При любом фиксированном значении у из отрезка [1, 2] x меняется от x = 0 до x = ln y, поэтому по формуле (30) имеем

.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

.

Решение. Область D (см. рис. 25) является простой относительно оси 0х. Проекцией области D на ось 0х является отрезок [0, 2a]. Нижняя граница – дуга окружности , верхняя – парабола .

Область D проектируется на ось 0у в отрезок [0, 2a]. Пересекая область D стрелками, параллельными оси 0х, видим, что линии входа и выхода не описываются одним уравнением.

Разбивая область D прямой у = а на три части:

;

;

,

получим

.

Пример 5. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью   и прямыми у = х и .

Решение. В данном примере область D – сектор круга радиуса R с центром в начале координат (рис. 26). Введем полярные координаты.

В полярных координатах

и уравнение окружности принимает вид r = R. Угол j меняется от  (прямая у = х) до  (прямая ). Тогда по формуле (39) получим

.

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.
Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике