Вычисление обьема тела

  Пример. Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными  , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

Подпись:

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Примем оси цилиндров за оси Оу и Oz (рис.4.2). Тело OABCD составляет восьмую часть интересующего нас тела.

 Пересечем это тело плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, на расстоянии х от 0. В сечении получим квадрат EFKL со 

стороной , поэтому  и .

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

Разложим дробь на простейшие

 

При ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Отсюда

 

Пример 6. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностью .

Решение. Преобразуем уравнение  следующим образом:

   .

Область D – круг с центром в точке (0; а) (рис. 27). Введем полярные координаты:

x = r cosj, z = r sin j.

Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид

Подынтегральная функция имеет вид . Угол j меняется от 0 до p (круг находится в I и II четвертях). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 0 (в начале координат) до r = 2a sin j (на окружности).

Получаем

Пример 7. В двойном интеграле  расставить пределы интегрирования в полярных координатах, если область D ограничена окружностями ,  и прямыми у = х и у = 2х.

Решение. Запишем уравнения окружностей в виде  и . Область D ограничена двумя окружностями и двумя прямыми, вырезающими из полученной области сектор (рис. 28).

Уравнения окружностей в полярных координатах принимают вид:

;

.

Угол j меняется от  (прямая у=х) до arctg2 (прямая у =2х). При каждом фиксированном значении угла j r меняется от 4cos j до r = 8 cos j. Получаем

.

Пример 8. В двойном интеграле  расставить пределы в полярных координатах, если область D ограничена кривой .

Решение. Введем полярные координаты x = r cosj,  z = r sin j. Уравнение кривой в полярных координатах принимает вид

 .

При изменении угла j от до  и от  до  r меняется от 0 до  (рис. 29).

Тогда получаем

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.
Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике