Вычисление обьема тела

Пример . На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскос­ти сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

 Найти объем образованного таким путем тела (рис. 4.3).

Подпись:  
                  
                    Рис.4.3

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Предваритель­но вычислим площадь парабо­лического сегмента с основа­нием а и высотой h. Распо­ложим оси координат так, как указано на рис.4.4. В этом случае уравнение параболы будет .

Определим параметр . Подставив координаты точки , получим  отсюда , следовательно, уравнение параболы  а искомая площадь —

.

Теперь вычислим объем тела. Если расположить оси координат так, как показано на рис. 4.3, то в сечении тела плоскостью, перпенди­кулярной к оси Ох, в точке с абс­циссой х получится параболический сегмент, площадь которого, как мы видели, равна , где . Следовательно,  и

.

Пример 14. Найти .

Решение. Данный интеграл с помощью «обратной подстановки»  сводится к интегралу вида . Действительно, полагая  получим

=

.

Пример 15. Найти .

Решение. Рекомендуемая подстановка x = 3 sin t. Тогда dx = 3 cos t×dt, . Имеем

 =

Так как , то  . Поэтому  =

Пример 16. Найти .

Решение. Прежде всего в интеграле сделаем подстановку t=x +1 (см. табл. 3), x = t – 1, dx = dt. Тогда x2 + 2x – 3 = (t – 1)2 + 2(t – 1) – 3 = =t2 – 4. Следовательно,

 = .

Рекомендуемая подстановка для вычисления интеграла . Тогда

.

Таким образом,

 =

= .

,

Возвращаясь к переменной х (z = arccos ; t = x + 1), получим

=

=

Замечание. Для вычисления этого интеграла может быть применена первая подстановка Эйлера (см. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1975):

 

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике