Вычисление обьема тела

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат и параболой .

Подпись:  
              Рис.4.4

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Найдем точки пересечения кривой с осями коорди­нат: при   , при  . Таким образом, отрезок интегрирования есть .

 Далее, из уравнения параболы получим  . Поэтому

Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.

 

Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах.

 

Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями.

Поперечным сечением является эллипс.

Площадь эллипса

Объем

 

Пример 17. Найти .

Решение. Данный интеграл – интеграл от дифференциального бинома, т. е. вида . В нашем случае m = –3, n = 3, p =;  – целое число. Рекомендуемая подстановка ,

.

Таким образом,

=

Определенный и несобственный интегралы

Например.  – расходится, т. к. при

.

Если функция f(x) непрерывна при a < x £ b и имеет бесконечный разрыв в точке х = а, т. е. , то полагают

. (8)

Интеграл  называется сходящимся, если существует предел в правой части равенства (8), и расходящимся, если указанный предел не существует.

Аналогично определяется интеграл от функции, имеющей бесконечный разрыв в правом конце отрезка [a, b]:

. (9)

Если функция f(x) непрерывна при a £ x < c и c < x £ b и имеет бесконечный разрыв в точке x = c, то полагают

. (10)

Интеграл  называется сходящимся, если оба предела в правой части равенства (10) существуют, и расходящимся, если хотя бы один из указанных пределов не существует.

Для исследования сходимости несобственных интегралов от разрывных функций (второго рода) также используется признак сравнения. Пусть функции  и в полузакрытом интервале  ограничены и терпят бесконечный разрыв при . Тогда, при , по крайней мере, для всех , близких к , если сходится интеграл , то сходится и интеграл . Если расходится интеграл , то расходится и интеграл . При применении признака сравнения в качестве функций для сравнения используются две функции вида

 и ,

первая их них имеет бесконечный разрыв при , а вторая – при .

Можно доказать, что

 и   при

Например.  – расходится, т. к. при

 и .

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике