Вычисление обьема тела

  Пример . Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу (рис.4.5). 

  Определить объем V получающегося тела вращения.

 Р е ш е н и е. Обратная функция  рассматривается на отрезке [0, 1]. Поэтому

.

  Применим подстановку . Отсюда

0

1

0

 ,

 ,

Значит, .

Подпись:  

          
             Рис.4.5

 

 

 

 

Интегрируя по частям , получим .

Геометрические приложения определенного интеграла

Пример 1. Оценить интегралы: 1) ; 2) .

Решение. Для оценки двух интегралов воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если m – наименьшее, а М – наибольшее значение функции f(x) на отрезке х Î [a, b], то

. (26)

1. Наибольшего значения функция достигает при х = 2, т. е.
М = f(2) = . Аналогично, при х = 0 m = f(0) = . Так как b – a = 2, то

.

2. Функции  и  монотонно убывают на отрезке , монотонно убывает поэтому и их произведение, так что наибольшее и наименьшее значения подынтегральная функция принимает на концах отрезка:

.

Учитывая, что b – a = , получаем оценку:

 .

Пример 2. Найти среднее значение функции f(x) = tg2x на отрезке xÎ[0; ].

Решение. Для нахождения среднего значения воспользуемся следующим свойством определенных интегралов: если функция f(x) непрерывна на отрезке xÎ[a, b], то на этом отрезке найдется такая точка x, что 

. (27)

Число  называется средним значением f(x) на отрезке [a; b].

Таким образом,

.

Пример 3. Вычислить .

Решение. Рекомендуемая подстановка 2x + 1 = t2; x = (t2 – 1)/2; dx = t×dt. Такая подстановка приводит к тому, что иррациональность под знаком интеграла исчезает. При этом изменению переменной х от х = 0 до х = 4 соответствует изменение переменной t от t – 1 до t = 3. Применяя формулу замены переменной для определенного интеграла, получаем

 =

 

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике