Вычисление обьема тела

 Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой  и прямой 

Подпись:  
               Рис.4.6

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Тело образовано вращением фигуры АВСА (рис.4.6) вокруг оси Ох. Чтобы найти абсциссы точек А и В, решаем систему уравнений:

Отсюда ; . В нашем случае  и

. Следовательно,

.

Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.

Отсюда

 

Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

.

 

 

Пример 4. Вычислить .

Решение. Данный пример на использование формулы интегрирования по частям для определенного интеграла:

, (28)

где символ  обозначает разность u(b)×v(b) - u(a)×v(a).

Положим u = x, dv=e-xdx, тогда du= dx, 

Подставляя полученные значения в формулу (7) интегрирования по частям, получаем

Пример 5. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. В силу определения имеем

 = .

Следовательно, интеграл сходится.

Пример 6. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. По формуле (7) имеем

 =

= .

Следовательно, интеграл расходится.

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике