Вычисление обьема тела

  Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами  и .

Подпись:                  Рис.4.7

 

 

 

 

 

 

 Р е ш е н и е. Очевидно, что  на отрезке от начала координат до точки пересечения парабол (рис.4.7). Найдем ординаты точек пересечения парабол, исключив х из системы уравнений:

Получим  . Следовательно,

Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, относительно оси вращения .

 

 

Задача 22. Варианты 1-10. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис.4.1). Плотность воды, ,ускорение свободного падения положить равным =.

Указание. Давление на глубине равно .

 

Пример 7. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

Решение. Интеграл от разрывной функции.

Подынтегральная функция  имеет бесконечный разрыв в точке х=0. В силу определения имеем

= .

Следовательно, интеграл сходится и равен 2.

Пример 8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x - x2, 2x + y = 0.

Решение. В данном примере линии заданы в декартовой системе координат, поэтому исходной – является формула (13). Фигура сверху ограничена графиком функции  f2(x) = 2x - x2, снизу f1(x) = -2x (см. рис. 9). Пределы интегрирования - точки пересечения этих графиков:

2x - x2 = -2x Þ  x2 - 4x = 0 Þ x1 = 0; x2 = 4.

Таким образом,

.


Рис. 9

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

r = 2а cos3j.

Решение. Линия задана в полярных координатах, поэтому исходная – формула (16). Фигура (рис. 10) симметрична относительно полярной оси, поэтому можно вычислить площадь верхней части фигуры, соответствующей изменению угла j от 0 до p/2, и результат удвоить:

Используя формулу интегрирования по частям в определенном интеграле, имеем:

,

или

,

т. е. 

Таким образом,

 или .

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике