Вычисление обьема тела

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой  фигуры, ограниченной параболой  и прямой   (рис.4.8).

Подпись:  
             Рис.4.8

 

 

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Если перенести начало координат в точку (0, - 2а), сохранив направление осей, то в новой системе координат уравнение параболы запишется так:

.

Отсюда (для кривой ОАВ), и   (для кривой OCD). Искомый объём равен

Пример 10. Вычислить длину дуги полукубической параболы  от точки А(1, 1) до точки В(4, 8).

Решение. Так как кривая задана уравнением вида y = f (x), то длина ее дуги вычисляется по формуле (19)

 = =

.


Пример 11. Найти длину первого витка спирали Архимеда r = а j (рис. 11).

Решение. Так как линия задана в полярной системе координат, то используется формула (21), причем первый виток спирали соответствует изменению угла j от 0 до 2p:

 =

 .

Рассмотрим неопределенный интеграл

.

Таким образом,

.

 

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике