Вычисление площадей в декартовых координатах

 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами х = –2у2, х=1–3у2 

Решение. Решая систему уравнений

,

найдем ординаты точек пересечения кривых . Так как

при , то

.

Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

 

Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

Пределы интегрирования найдем из решения неравенства

.

 

 

Лабораторная работа № 5. Вычисление значений функций с помощью степенных рядов.

Для вычисления значения функции  при  с заданной точностью функцию в интервале  разлагают в степенной ряд . Точное значение  равно сумме этого ряда при , а приближённое – частичной сумме , т.е. . Точность этого равенства увеличивается с ростом n, а абсолютная погрешность равна  где

Таким образом, для оценки погрешности нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются подобрать положительный ряд с большими членами, который легко бы суммировался. Обычно это бесконечно убывающая прогрессия. В качестве оценки  берут величину остатка этого нового ряда. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка .

Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена , где

Пример 8. Вычислить число e с точностью до 0,001.

В формулу подставим

Для нахождения числа e оставим n слагаемых и оценим ошибку :

. В квадратных скобках стоит бесконечно убывающая прогрессия с знаменателем , тогда сумма прогрессии равна . Окончательно получаем , т.е. .

Подберём наименьшее натуральное число n, чтобы выполнялось неравенство . Подбором убеждаемся, что это неравенство выполняется при , поэтому

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике