Вычисление обьема тела

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;

 

Подпись:  
              
                 Рис.4.9

.

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Искомый объем V равен удвоенному объему, полученному вращением фигуры ОАВ (рис.4.9). Поэтому

.

0

а

  0

 Делаем замену переменной

  ,

 ,

 ,

 Следовательно,

.

Используя формулу для вычисления фигурирующих здесь интегралов, получаем

.

 

Пример 12. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х одной полуволны синусоиды y = sin x (0 £ x £ p) (рис. 12).

Решение. По формуле (22), учитывая, что а = 0; b = p, y2dx = sin2x dx, имеем

 

.

Пример 13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0y астроиды x =a cos3t, y = a sin3t (см. рис. 13).

Решение. Подставляя в формулу (23) выражения x2 = a2 cos6t
и dy = a 3sin2t cos t dt и переходя к новым пределам интегрирования (по t),  и , для искомого объема получаем

.

Пример 14. Размеры параболического зеркала AOB указаны на рис. 14. Требуется найти поверхность этого зеркала.

Решение. Уравнение параболы y2 = 2px. Учитывая координаты точки А(а, 4а), имеем 16а2 = 2pа Þ p = 8a и уравнение параболы y2 = 16ax. 

Уравнение верхней половины параболы . Для нахождения поверхности зеркала используем формулу (25)

 =

.

Разложение правильной дроби Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей Вид элементарной дроби и число их в разложении определяется корнями знаменателя данной дроби. Каждому множителю знаменателя соответствует определенного вида дробь.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике