Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

  Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы

заключенной между точками (0, 0) и (4, 8) (рис.5.1).

 Р е ш е н и е. Функция у(х) определена для . Поскольку данные точки лежат в первой четверти, . Отсюда

  и .

Следовательно,

.

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

 

 

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

 

 

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

 

 

Задача 4. Вычислить определенные интегралы.

 

 

Пример 8. Найти моменты инерции относительно осей координат участка однородной прямой , лежащего между осями координат в плоскости .

Решение. Пример на приложение криволинейного интеграла. Как отмечалось ранее, формулы для вычисления моментов инерции дуги кривой относительно осей координат аналогичны соответствующим формулам с использованием двойного интеграла для плоской пластины. А именно:

Пример 9. Вычислить , где  – часть плоскости , лежащая в I октанте (рис. 46).

Решение. Данный интеграл – поверхностный интеграл по площади поверхности (первого рода).

Для вычисления данного интеграла спроектируем поверхность  на плоскость . Проекцией является треугольник , ограниченный прямыми . В этом треугольнике  меняется от 0 до 2, а при каждом фиксированном  ордината меняется от  до .


Уравнение плоскости запишем в виде . Так как , то

Учитывая, что , по формуле (84) имеем

Пример 10. Вычислить , где  – внешняя сторона части сферы  (рис. 47).

Решение. В нашем случае будем вычислять каждый из слагаемых поверхностных интегралов второго рода отдельно. В первом из них надо выразить  через  и  из уравнения сферы

.

Так как вектор нормали к указанной стороне поверхности образует тупой угол с осью , то, переходя к двойному интегралу (см. формулу (89)), надо взять знак минус :

.

Данная часть сферы проектируется на плоскость  в часть круга радиуса , с центром в начале координат, расположенном в первой четверти, поэтому для нахождения двойного интеграла перейдем к полярным координатам

Получим

Аналогично,

Здесь при вычислении  была использована формула (88), причем знак плюс взят потому, что выбранная нормаль  образует с осью  острый угол .

Таким образом, .

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике