Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами .

 Р е ш е н и е. Так как , то

.

Следовательно,

.

  Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , заключен­ной между точками с ординатами  и .

Подпись:  

          Рис.5.1
 

 Р е ш е н и е. В этой задаче удобнее за независимую переменную принять у: тогда  и 

.

  Следовательно,

.

Пример 9. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена кривыми   ,  и лежит в первой четверти (рис. 30).


Решение. Для решения данной задачи удобно ввести так называемые обобщенные полярные координаты, которые применяются, когда границей области интегрирования служит эллипс или дуга эллипса, положив , .

Найдем якобиан данного перехода:

 и | J |=abr.

Уравнение эллипса  принимает вид

  r = 1,

а уравнение  Þ r= 2.

При изменении угла j от 0 до   (область D в первой четверти) r меняется от 1 до 2. Тогда получаем

.

Пример 10. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной прямыми у = –1, у = –х и окружностью .

Решение. Область D (рис. 31) данного примера спроектируем на ось 0у, которая проектируется в отрезок [–1; 0] и имеет левой границей линию , а правой – прямую х = –у.

Тогда используя формулу (41), получаем

.

.

Окончательно получаем .

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.
Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике