Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример. Вычислить длину дуги астроиды .

  Р е ш е н и е. Как известно, астроида симметрична относительно осей координат и биссектрис координатных углов. Поэтому доста­точно вычислить длину дуги астроиды, заключенной между биссектрисой и осью Qy, и результат умножить на 8.

  В первой четверти  и  при ,

  при .

 Далее

и

.

Следовательно,

.

  Замечание. Если бы мы сначала стали вычислять длину дуги астроиды, лежащей в первой четверти, то пришли бы к интегралу

. подынтегральная функция которого возрастает до бесконечности при .

 

Пример 11. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластинки, ограниченной верхней половиной эллипса  (a > b) и его большой осью (рис. 32).

Решение. Пластинка лежит в плоскости y0z. В силу симметрии пластинки относительно оси 0z имеем yc = 0. Уравнение верхней половины эллипса, разрешенное относительно z, имеет вид . Для нахождения Zc найдем My и m (m = 1):

.

.

Следовательно, .

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 1, x = 3, y = 0, y = 2, z = 2, z = 5.

Решение. Вычисляем данный интеграл по формуле (53)

.

Внутренний интеграл вычисляем, считая х и у постоянными:

.

Полученную функцию от х и у интегрируем по у, считая х постоянным:

.

Полученную функцию от х интегрируем по x:

.

Обычно для сокращения записи все вычисления записывают в одну строку:

.

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике