Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример . Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и  (рис.5.2). 

 

Подпись:                   Рис.5.2

  Р е ш е н и е. Достаточно вычислить длины дуг  и , так как в силу симметрии фигуры относительно оси Ох

.

  Решив систему уравнений 

найдем точку А(2, 4).

 Найдем . Здесь

.

Следовательно,

.

  Так как  есть длина дуги окружности радиуса , соответ­ствующей центральному углу arctg 2 , то

  Окончательно имеем

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1.

Решение. В этой задаче область V можно спроектировать, например, на плоскость x0z .

Тогда область V (рис. 33) имеет нижнюю границу у = 0 и верхнюю границу . Область D (рис. 34) проектируется в отрезок [0; 1] оси 0х и имеет границы z = 0 и z = 1– x. Переходя к повторному интегрированию, получим

.


Пример 14. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями y, z = 0, z = a и цилиндром .

Решение. Область V (рис. 35) данного интеграла ограничена «снизу» плоскостью z = 0, а «сверху» – плоскостью z = a. Эта область проектируется в область D плоскости х0у (рис. 36), ограниченную прямой у = 0 и окружностью . Введем цилиндрические координаты

,  z = z.

Так как , то

.


В области V координата j меняется от 0 до , r – от 0 до r = 2cos j (рис. 36), z – от плоскости z = 0 до плоскости z = a.

Таким образом,

.

 

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике