Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример. Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

,

откуда . Следовательно,

.

Задача 11. Вычислить определенные интегралы.

 

Задача 12. Вычислить определенные интегралы.

 

Задача 13. Найти неопределенные интегралы.

 

Пример 15. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и сферой .

Решение. Область V (рис. 37) ограничена «снизу» плоскостью z = 0, «сверху» – сферой . В сферических координатах , поэтому по формуле (58)


.

Очевидно, что в области V j меняется от 0 до , q – от 0 до , r – от 0 до а, так как уравнение сферы принимает вид  или r = a. Тогда имеем

.

Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся подстановкой :

.

Таким образом,

.

Пример 16. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного плоскостью у = 0, цилиндром  и конусом .

Решение. Тело, объем которого находим (см. рис. 38), ограничено «снизу» плоскостью у = 0, а «сверху» конусом  и проектируется в область D плоскости x0z, ограниченную окружностью .

Введем цилиндрические координаты:

,  y = y.

С учетом того, что данное тело симметрично относительно плоскостей y0z и y0x и что уравнения окружности, ограничивающей область D и конуса, соответственно принимают вид  и  имеем

.


Рис. 38

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике