Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример. Вычислить длину астроиды:, .

 Р е ш е н и е. Дифференцируя по , получим

;

.

Отсюда

.

Так как функция  имеет период , то

.

  Замечание. Если бы мы забыли, что нужно брать арифметическое значение корня, и положили  то получили бы не­верный результат, так как

.

Задача 6. Найти неопределенные интегралы.

Разложим дробь на простейшие

 

При ,

При ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Приравнивая коэффициенты при ,

Отсюда

 

Пример 17. Найти момент инерции относительно начала координат тела, ограниченного параболоидом  и плоскостью z = 4 (m = 1) (рис. 39).

Решение. Согласно формуле (69) имеем

.

Введя цилиндрические координаты:

,  z = z,

получим


.

Криволинейные и поверхностные интегралы.
Элементы теории поля

Пример 1. Вычислить  по отрезку прямой, соединяющему точки  и .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по длине дуги (первого рода).

Для данного интеграла запишем уравнение прямой, проходящей через две точки:

.

Для данной линии .

При движении от  к   меняется от 0 до 4. По формуле (73) имеем

Пример 2. Вычислить , где L – верхняя половина окружности  (рис. 44).


Перейдем к полярным координатам:

 

Так как берется только верхняя часть окружности, то угол  меняется от 0 до . По формуле (75) имеем

Пример 3. Вычислить , где L – дуга

.

Решение. Так как

то по формуле (74) имеем

Ответ: .

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике