Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример. Вычислить длину дуги эллипса .

  Р е ш е н и е. Перейдем к параметрическому заданию эллипса

, .

 Дифференцируя по , получаем

,

откуда

,

где — эксцентриситет эллипса, .

  Таким образом,

.

Интеграл  не берется в элементарных функциях: он называется эллиптическим интегралом второю рода. Полагая , приводим интеграл к стандартному виду:

.

где  Е()—обозначение для так называемого полного эллиптического интеграла второго рода.

 Следовательно, для длины дуги эллипса имеет место формула .

  Обычно полагают  и пользуются таблицами функции

.

  Например, если  и , то

.

  По таблице значений эллиптических интегралов второго рода находим .

 

Пример 4. Вычислить , где L – дуга параболы , пробегаемая от точки  до .

Решение. Данный интеграл – криволинейный интеграл по координатам (второго рода).

Для данного интеграла  и при движении из точки 0 в точку   меняется от 0 до 1, и по формуле (78) имеем

.

Пример 5. Вычислить , где  – дуга винтовой линии , от точки пересечения линии с плоскостью   до точки ее пересечения с плоскостью .

Решение. При данном перемещении параметр  меняется от 0 до , по формуле (80) имеем

Пример 6. Применяя формулу Грина, вычислить

,

где  – окружность .

Решение. Для данного интеграла используем формулу Грина.

В данном случае

.

Применяя формулу Грина (81), получаем

.


Область  – круг (рис. 45). Введем полярные координаты  . Уравнение окружности в полярных координатах принимает вид  или . Угол  меняется от  до  (круг находится в первой и четвертой четверти).

Тогда получаем

.

Пример 7. Вычислить , где  – окружность

,

пробегаемая против хода часовой стрелки.

Решение. Контур  – замкнутый,

 и ,

поэтому по формуле Грина данный интеграл равен нулю.

Правило интегрирования рациональных дробей Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо: 1) Проверить, является ли эта дробь правильной. Если дробь неправильная, выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель. 2) Правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей. 3) Найти неизвестные коэффициенты. 4) Проинтегрировать простейшие дроби.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике