Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример. Найти площадь фигуры, заключенной между параболой х2=4у и локоном Аньези : .Подпись:

 

 

 

 

Решение. Найдем абсциссы точек А и С пересечения кривых.

Для этого исключим у из системы уравнений:

,

откуда   или .

Действительными корнями этого уравнения являются точки

x1= –2 b x2=2. Из рисунка видно, что  на отрезке . (В этом можно убедиться и прямым подсчетом значений этих функций в любой точке внутри отрезка, например, в точке х=0.)

Следовательно,

.

Лабораторная работа № 5. Применение степенных рядов к вычислению определённых интегралов.

Для приближённых вычислений неопределённых и определённых интегралов, в случае, когда первообразная не выражается через элементарные функции или её нахождение сложно, применяются степенные ряды.

 Пусть требуется вычислить  с заданной точностью. Подынтегральную функцию  раскладываем в ряд по степеням x в интервале , который включает в себя отрезок . Для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться теоремой о почленном интегрировании степенного ряда. Ошибка вычислений определяется так же, как и при вычислении функций.

Пример 9. Вычислить  с точностью 0,001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена в интервале

 

Интегрируя обе части равенства на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим

. Так как , а , то погрешность по модулю меньше первого отброшенного члена (ряд Маклорена Лейбнецкого типа). Получим

Лабораторная работа № 6. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений.

 В случаях, когда интегрирование дифференциального уравнения в элементарных функциях невозможно или способ его решения слишком сложен, решение такого уравнения следует искать в виде ряда Тейлора .Коэффициенты ряда  находят подстановкой ряда в уравнение и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях   в обеих частях полученного равенства. Если удаётся найти все коэффициенты ряда, то полученный ряд служит решением во всей своей области сходимости. Этим способом можно интегрировать линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Пример 10. Решить задачу Коши для уравнения .

Сначала разложим правую часть в степенной ряд по степеням x, т.к. у нас

 

Будем искать решение уравнения в виде ряда .

Тогда 

Из начальных условий находим . Подставим полученные ряды в исходное уравнение +

+

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

…………………….

Решая эту систему, находим:

Получаем искомое решение в виде ряда или .

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике