Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внутри круга и ограниченной параболами  и   

Подпись:  .

Решение. Найдем абсциссу точки А пересечения параболы

  с окружностью .

Исключив у из системы уравнений

получим ,  откуда находим единственный положительный корень . Аналогично находим абсциссу точки D пересечения окружности  и параболы ; . Понятие о дифференциале функции. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Таким образом, интересующая нас площадь равна

,

где , .

По свойству аддитивности интеграла

=

=

=.

Здесь мы воспользовались известной формулой тригонометрии

.

Решение типового варианта контрольной работы.

Задача 8.1. Записать двойной интеграл в виде повторного и изменить порядок интегрирования, если область интегрирования  .

Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, т.к. любая прямая, параллельная оси ОУ, пересекает границу области D не более чем двух точках. Первую точку пересечения с линией у=х2 назовем точкой входа, а линию - линией входа, ее уравнение у=х2. Вторую точку пересечения с линией у=2-х назовем точкой выхода, а линию – линией выхода. Тогда повторный интеграл в правой части составлен из двух определенных: первый берется по переменному у, оси которого ОУ параллельны секущие прямые, он называется внутренним. Пределы интегрирования в нем зависят от х и совпадают с ординатами точек пересечения секущих с линией входа (нижний предел) и линией выхода (верхний предел интегрирования). При внутреннем интегрировании переменное х считается постоянным, поэтому его результатом является функция, которая после подстановки пределов интегрирования зависит от х. Второй интеграл по х берется от этой функции по переменному х, а пределы интегрирования в нем равны наименьшему (для нижнего) и наибольшему (для верхнего) значению проекций точек области D на ось ОХ:

 

 

  При изменении порядка интегрирования линия входа в область D имеет уравнение х=0,  а линия выхода разбивается на две части, одна из которых имеет уравнение , а вторая – уравнение . По свойству аддитивности двойного интеграла он разбивается на два, в каждом их которых сделана замена на повторный с внутренним интегрированием по переменному х, а внешним интегрированием по переменному у:

 

 

Задача 8.2. Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной графиками данных функций

  Решение. Область интегрирования D является правильной (простой) в направлении оси ОУ, поэтому заменяем двойной интеграл повторным с внутренним интегралом по  у, а внешним – по х. Линией входа в D является прямая , линией выхода – парабола . Вычисляем внутренний интеграл при постоянном  х, применяя формулу Ньютона-Лейбница с нижним пределом  и верхним пределом  Находим точки пересечения параболы и прямой из решения системы

  

 Полученные абсциссы точек пересечения и дают пределы интегрирования во 

 внутреннем интеграле.

 Процесс сведения двойного интеграла к двухкратному сводится к следующему:

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике