Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями   и осью Ох.

 

 

Решение.Функция

непрерывна на промежутке [-1, p/2]. Площадь криволинейной трапеции равна Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов. Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

.

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Лабораторная работа №1. Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь плоской области D, находится по формуле

Или в полярных координатах .

Если область D определена, например, неравенствами  

то  

Если область D определена неравенствами  то 

Если в полярных координатах область D определена неравенствами    то 

Пример 1.

 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  

Из рисунка видно, что внутренний интеграл целесообразно брать по x, а внешний по y. При другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов. Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если их решить относительно x:

Таким образом,

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике