Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример Найти площадь сегмента, отсекаемого от кривой  хордой .

Решение Из   равенства   следует, что , поэтому или x=0 или . Другими словами, область определения неявно заданной функции  состоит из точки x=0 и промежутка [1, ¥]. Изолированная точка (0,0) при вычислении площади роли не играет, поэтому промежуток интегрирования – это отрезок [1, 2] (рис. 1.7).

Переходя к явному заданию , мы видим, что сегмент ограничен сверху кривой Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

Рис. 1.7  и снизу - кривой . Следовательно,

.

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

Сделаем подстановку

Лабораторная работа №2. Вычисление объёмов тел.

Объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью  и сбоку цилиндрической поверхностью вырезающей на плоскости  область D, вычисляется по формуле  

Объём области V можно находить и с помощью тройного интеграла

 или   в декартовых координатах,

 в цилиндрических координатах,

 в сферических координатах.

Во избежание возможных ошибок при вычислении объёма тела полезно сделать пространственный рисунок, который давал бы представление о форме данного тела. Если же тело построить не удаётся, то можно ограничиться хотя бы рисунком, изображающим проекцию данного тела на одну из координатных плоскостей (область интегрирования двойного интеграла). Однако и в этом случае необходимо представить себе, какая поверхность ограничивает тело сверху.

Пример 3.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями 

 и 

Сверху тело ограничено плоскостью снизу плоскостью  с боков – цилиндрической поверхностью  и плоскостью . Основанием тела, т. Е. областью интегрирования является плоская область D, ограниченная параболой  и прямой .

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике