Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой  и прямой . Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Решение. Заметим, прежде всего, что  как неявная функция от  определена лишь при : левая часть уравнения всегда неотрицательна. Теперь находим уравнения двух ветвей кривой Так как ,то  и поэтому

Стоит отметить, что при вычислении площади мы обошлись без рисунка, хотя при исследовании поведения функции  он был бы полезен. Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной

Пример 2.

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

Ввиду симметрии относительно осей координат можно вычислить площадь части фигуры, расположенной в первой четверти и результат умножить на 4. Здесь выгодно перейти к полярным координатам. Уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид:  или  Найдём область определения данной функции. Так как

  то   и .

При  получим , т.е. правая петля лемнискаты,

при  получим (левая петля).

Получаем

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике