Вычисление площадей в декартовых координатах

Пример. Вычислить площадь петли кривой .

 

 

 

 

Решение. Область определения неявной функции   есть промежуток . Так как в уравнение кривой  входит во второй степени, то кривая симметрична относительно оси . Положительная ветвь  задается уравнением

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Общие точки симметричных ветвей  должны лежать на оси Ох. Но  лишь при и при Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Следовательно, петля кривойобразована кривыми  и

  (рис.1.8).

Поэтому площадь петли равна 

.

Пример 4. Вычислить объём тела, вырезанного цилиндром  из шара .

Заметим, так как оба уравнения поверхностей содержат сумму квадратов , то удобнее перейти к цилиндрическим координатам    и

Уравнение сферы    или .

В силу симметрии тела можно ограничиться вычислением четвёртой части тела, расположенной в первом октанте. Область интегрирования – полукруг в первой четверти.

Пример 5. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями   и .

Решение. Снизу тело ограничено параболоидом , сверху плоскостью  и проектируется в круг  плоскости . Используем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет вид . Объём тела равен

.

 

МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Существуют три способа интегрирования: непосредственное, заменой переменной и по частям. Непосредственное интегрирование Непосредственное интегрирование состоит в том, что подынтегральную функцию путем тождественных преобразований с использованием формул алгебры и тригонометрии, а также используя свойства (3) и (4), сводят к табличным интегралам.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике