Интергалы при вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Примеры решения дифференциальных уравнений
Интеграл
Аналитическая геометрия
Вычисление площадей
Графики функций
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Вычисление площадей в декартовых координатах
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
Вычислении площадей в полярных координатах
Вычисление обьема тела
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
Типовой расчет примеры решения задач
Бином Ньютона
Физика
Хаpактеpистика и законы сил механики
Кинетическая и потенциальная энергия
Постулаты теоpии относительности
Электpический заpяд
Электpическая емкость пpоводников и конденсатоpов
Закон Ампеpа
Лабораторные работы по электротехнике
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Радиоактивность
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эл-липсом  

Пример . Найти площадь астроиды  

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной  кривой .

Пример. Найти площадь петли кривой: ; .

Пример. Вычислить площадь, содержащуюся внутри кардиоиды:   ;  

.Подпись:             

Р е ш е н и е. Ввиду периодичности функций  и  достаточно ограничи­ться рассмотрением отрезка . Кри­вая симметрична относительно оси Ох, так как при замене  на  переменная х не меняет своего значения, а   меняет лишь знак; при этом  при изменении t от 0 до . При изменении  от 0 до  функция  убывает от1 до - 1; при этом абсцисса  сначала убывает от  до , а затем воз-растает до . Можно показать, что ордината у возрастает в интервале   и убывает в интервале .Вид  кривой показан на рис.2.3; там же указано направление обхода ее при возрастании

 

Задача 2 (2.30).

Вычислить.

 

Решение:

Построив кривые, ограничивающие D, получим следующий рисунок:

Рис. 3.

 

 

  Записав, D в виде  , получаем:

Вычисляем внутренний интеграл по у, считая х постоянной, а затем вычисляем получившийся определенный интеграл:

Ответ: J=0.
Задача 3 (3.30).

Вычислить

   

Решение:

Построив линии ограничивающие D, видим, что D – треугольник (рис.4).

Рис. 4

 

 

Область D записывается в виде  и в виде  .В первом случае имеем:

.

Во втором случае:

В первом случае для вычисления внутреннего интеграла придется два раза интегрировать по частям, а во втором – интегрирование существенно упрощается. Поэтому интеграл лучше брать по второй формуле, что и будем делать. Вычисляем внутренний интеграл по х, считая у постоянной, а затем вычисляем получившийся определенный интеграл.

 

Ответ: J=4.


Вычислить:

   

Решение:

Напомним, что если тело V   снизу ограничено поверхностью , сверху – поверхностью   и проекция V  на плоскость ху есть область D , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по V вычисляется по формуле

Построив  поверхности ограничивающие V, видим, что V есть треугольная призма ( рис.5а.).

Рис.5.

 

 

Призма V ограничена: снизу поверхностью z=0, сверху поверхностью , и проекция V на плоскость ху совпадает с основанием D этой призмы (рис. 5б.). Поэтому

Внутренний интеграл по z вычисляем, считая х и у постоянными:

 

Полученный двойной интеграл удобнее вычислять, интегрируя сначала по у , а затем по х , поскольку при этом не встретится интегрирование по частям.

Ответ:J=1.

Вычислить:

Решение: Построив поверхности, ограничивающие тело V, получим, что V - прямоугольный параллелепипед (рис.6).

Рис.6

 

 

Тело V можно задать в виде   . Как известно, если тело  задано в виде  , то тройной интеграл от функции f(x,y,z) по  записывается в виде повторного, причем порядок интегрирования произволен. Например:

Для вычисления  удобно интегрировать сначала по х , потом уже по у , поскольку при этом не приходится интегрировать по частям.


=-1+e-4- 12 = e-4 – 13.

Ответ: J=e-4 – 13.

Вычислить.

 ; x=0; y=0; z=0;

Решение:

Построив поверхности, ограничивающие V, получим, что V -- треугольная пирамида (рис. 7).

Рис.7

 

Пирамида V сверху ограничена плоскостью х/8 + у/3 +z/5=1. (уравнение этой плоскости можно задать в виде z=5 - 5x/8 - 5y/3. ), снизу плоскостью z=0 , и проекция V на плоскость ху  совпадает с основанием D этой пирамиды(рис.7). Поэтому

Внутренний интеграл по z вычислим, считая x и y постоянными .

Полученный интеграл вычисляем обычным образом.



Ответ: J=1.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике