Применение интегралов при вычислении площадей в полярных координатах

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Примеры решения дифференциальных уравнений
Интеграл
Аналитическая геометрия
Вычисление площадей
Графики функций
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Вычисление площадей в декартовых координатах
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
Вычислении площадей в полярных координатах
Вычисление обьема тела
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
Типовой расчет примеры решения задач
Бином Ньютона
Физика
Хаpактеpистика и законы сил механики
Кинетическая и потенциальная энергия
Постулаты теоpии относительности
Электpический заpяд
Электpическая емкость пpоводников и конденсатоpов
Закон Ампеpа
Лабораторные работы по электротехнике
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Радиоактивность
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
 

Пример . Найти площадь фигуры, лежащей в первой четверти и ограниченной параболой  и прямыми  и .

Пример. Найти площадь фигуры, лежащей вне  круга  и огра­ниченной  кривой 

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями   и 

Пример. Найти площадь фигуры, вырезаемой окружностью   из кардиоиды 

Пример. Найти площадь петли декартова листа

 Подпись:  

                   Рис.3.5
             

Решение. Перейдем к полярным координатам по обычным фор­мулам   , .Тогда заданное уравнение перепишется в виде,или

01 12

. Из этого уравнения вытекает, во-первых, что  при  и при  и, во-вторых,  при и . Последнее означает, что декартов лист имеет асимптоту, уравнение которой  можно найти обычным обра­зом в декартовых координатах.Следовательно, петля декартова ли­ста описывается при изменении   от 0 до  и лежит в первой четверти (рис.3.5).Таким образом, искомая площадь равна . Пользуясь симметрией кривой от­носительно биссектрисы , т, е. относительно луча , мы можем вычислить площадь половины петли (от  до ) и затем удвоить ее.

Это позволит воспользоваться заменой 

  01

, ,  что дает. Новая замена, приводит к интегралу.

 

Пример 11. Вычислить поток векторного поля

через полную поверхность треугольной пирамиды с вершинами , ,  и .

Решение. При вычислении потока данного примера придется рассмотреть сумму потоков, т. к. поверхность  состоит из четырех частей (рис. 48)

где  – соответственно нормали к поверхностям  и .

Будем вычислять каждый из слагаемых интегралов отдельно. В первом интеграле  взаимно однозначно проектируется, например, на плоскость , а уравнение его плоскости .

Принимая

,

найдем единичный вектор нормали к этой плоскости по формуле (92)

.

Здесь , что и соответствует нормали к внешней стороне треугольника. После этого находим

Во втором интервале ,  и

.

В третьем интеграле  и .

В четвертом интеграле  и

Окончательно получаем

.

Дадим еще одно решение этой задачи с помощью теоремы Остроградского:

поэтому

где  – объем пирамиды .

Пример 12. Вычислить линейный интеграл векторного поля

вдоль прямолинейного отрезка , где  и .

Решение. В данном примере согласно формуле (98)

.

Каноническое уравнение прямой

 или .

Отсюда имеем

 и ,

а  вдоль   изменяется от 1 до 3.

Подставив выражения  и  в формулу для линейного интеграла и приведя подобные члены, находим

Пример 13. Найти работу силового поля  по одному витку дуги  винтовой линии , где точки  и  соответственно получаются при  и .

Решение. Так как , то по формуле (99)

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике