Применение интегралов при вычисление обьема тела

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Примеры решения дифференциальных уравнений
Интеграл
Аналитическая геометрия
Вычисление площадей
Графики функций
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Вычисление площадей в декартовых координатах
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
Вычислении площадей в полярных координатах
Вычисление обьема тела
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
Типовой расчет примеры решения задач
Бином Ньютона
Физика
Хаpактеpистика и законы сил механики
Кинетическая и потенциальная энергия
Постулаты теоpии относительности
Электpический заpяд
Электpическая емкость пpоводников и конденсатоpов
Закон Ампеpа
Лабораторные работы по электротехнике
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Радиоактивность
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
 

Пример. Определить объем эллипсоида

Пример. Вычислить объем тела, которое получается от вращения кардиоиды , вокруг полярной оси.

Пример. Оси двух одинаковых цилиндров с радиусами основания равными   , пересекаются под прямым углом. Найти объем тела, составляющего общую часть этих двух цилиндров.

Пример На всех хордах круга радиуса R, параллельных одному направлению, построены симметричные параболические сегменты постоянной высоты h. Плоскос­ти сегментов перпендикулярны к плоскости круга.

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площади, ограниченной осями координат и параболой .

Пример . Фигура, ограниченная дугой синусоиды , осью ординат и прямой , вращается вокруг оси Оу. 

  Определить объем V получающегося тела вращения.

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой   и прямой 

Пример. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами  и .

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой   фигуры, ограниченной параболой  и  прямой 

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой: ;

 

Подпись:  
              
                 Рис.4.9

.

 

 

 

 

  Р е ш е н и е. Искомый объем V равен удвоенному объему, полученному вращением фигуры ОАВ (рис.4.9). Поэтому

.

0

а

  0

 Делаем замену переменной

  ,

 ,

 ,

 Следовательно,

.

Используя формулу для вычисления фигурирующих здесь интегралов, получаем

.

Пример 14. Найти циркуляцию векторного поля  по контуру , получаемому при пересечении параболоида   с координатными плоскостями (рис. 49).


Решение. В данном примере имеем

если

На  и , следовательно,  и , тогда .

При перемещении по дуге  от точки А до точки   возрастает от 0 до 2, поэтому

.

На .

Следовательно, .

Используя уравнение параболы , имеем .

При перемещении по дуге  от точки до точки   возрастает от 0 до 4, поэтому

.

На , т. е. .

Из уравнения параболы  находим , тогда

.

При перемещении по дуге  от точки  до точки  возрастает от 0 до 2, поэтому

Таким образом,

Замечание. Вычислим циркуляцию векторного поля по формуле Стокса (103).

В данной задаче в качестве поверхности, «натянутой» на контур, возьмем поверхность . Единичный вектор нормали к этой поверхности определяется по формуле

, где ;

поэтому , откуда , нормаль  обеспечивает требуемое теоремой Стокса направление обхода контура  (видимый с конца этого вектора обход контура   совершается против часовой стрелки).

Ротор данного поля вычислим по формуле (104)

По теореме Стокса (103)

,

но

Следовательно,

Пример 15. Дано векторное поле . Показать, что поле  потенциальное и найти его потенциал.

Решение. Для данного примера в начале найдем :

.

Следовательно, в силу условия (107) поле потенциальное. Потенциал поля найдем по формуле (109), положив в ней . Тогда

.

Таким образом,  является потенциалом поля . Действительно, .

Полученный потенциал найден с точностью до постоянного слагаемого. Все числовые значения, которые получаются при вычислении интегралов, включаются в одну постоянную .

Пример 16. Доказать, что поле  – потенциальное и соленоидальное. Найти его векторный потенциал.

Решение. Для данного примера найдем дивергенцию .

По формуле (97)

.

Следовательно, поле  – соленоидальное.

Определим :

.

Следовательно, поле  – потенциальное.

По формуле (111) найдем векторный потенциал. В нашем случае

 

и

по формуле (111) найдем векторный потенциал:

Полученный векторный потенциал определен с точностью до градиента произвольного поля .

 

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике