Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Примеры решения дифференциальных уравнений
Интеграл
Аналитическая геометрия
Вычисление площадей
Графики функций
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Вычисление площадей в декартовых координатах
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
Вычислении площадей в полярных координатах
Вычисление обьема тела
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
Типовой расчет примеры решения задач
Бином Ньютона
Физика
Хаpактеpистика и законы сил механики
Кинетическая и потенциальная энергия
Постулаты теоpии относительности
Электpический заpяд
Электpическая емкость пpоводников и конденсатоpов
Закон Ампеpа
Лабораторные работы по электротехнике
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Радиоактивность
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
 

Вычисление длин дуг плоских кривых, заданных в декартовых координатах

Пример. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками с абсциссами .

Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы

Пример. Вычислить длину дуги астроиды .

Пример . Вычислить длину дуги кривой ОАВСО, состоящей из участков кривых  и 

Вычисление длин дуг кривых, заданных параметрически

Пример. Вычислить длину дуги развертки круга ,  от  до .

Пример. Вычислить длину астроиды:, .

Пример. Вычислить длину дуги эллипса .

 

 

Изменение порядка интегрирования

Пусть задан двукратный интеграл     . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами     является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D ;
x = ψ1(y)  - левая часть границы;
x = ψ2(y)    - правая часть границы области D .

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 15

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области     равна

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая φ = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами  β ≤ φ ≤ α,   ρ1(φ) ≤ ρ ≤ ρ2(φ).

Тогда двойной интеграл     функции f(x,y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах:

.

 Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области         в полярных координатах находится так:

    .

 Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

.

Лекции. Сборник задач с решениями по физике, математике