Начертательная геометрия решение практических задач

Начертательная геометрия — раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.

Поверхности вращения

Это поверхности, которые описываются какой-либо линией при ее вращении вокруг неподвижной оси.

а) При вращении прямой образуются:

цилиндр вращения (прямая параллельна оси вращения);

конус вращения (прямая пересекается с осью вращения).

б) При вращении окружности образуется:

сфера (вращением окружности вокруг диаметра);

тор (вращением окружности вокруг оси, лежащей в

плоскости окружности, но не проходящей через ее центр);

в) При вращении кривой второго порядка образуются:

эллипсоид вращения (вращением эллипса);

параболоид вращения (вращением параболы);

 однополостный гиперболоид;

 2-х полостной гиперболоид.

13.2 Линейчатые поверхности

Это поверхности, описываемые какой -либо прямой (образующей) при ее движении в пространстве по какому-нибудь закону:

цилиндрическая поверхность (образуется движением прямой линии по некоторой кривой линии, при этом прямая имеет постоянное направление);

коническая поверхность (образуется движением прямой линии, проходящей через неподвижную точку, по некоторой кривой линии, называемой направляющей);

 торс и т.д.

Если направляющая линия является ломаной линией, то образуются:

Позиционные задачи на пересечение прямых и плоскостей При моделировании важно знать взаимное положение геометрических фигур, которые могут пересекаться (что, часто, не должно быть), касаться и т.д. Ортогональный чертеж не всегда дает ответ на эти вопросы. Однако знания свойств параллельного проецирования, позволяет сразу решить некоторые позиционные задачи Частные случаи пересечения плоскостей

призматическая поверхность (образующая имеет постоянное направление);

пирамидальная поверхность (образующая проходит через неподвижную точку).

Имеются и более сложные линейчатые поверхности:

цилиндроид;

 коноид;

 косая плоскость и т. д.

Всякая прямая пересекается с такой поверхностью в двух точках, а плоскость пересекает ее по кривой второго порядка.

Поверхности второго порядка

коническая поверхность (конус вращения и эллиптический конус, получаемый деформацией параллелей конуса вращения в эллипсы);

цилиндрическая поверхность (цилиндр вращения, эллиптический, параболический и гиперболический цилиндры.

эллиптический цилиндр может быть получен из цилиндра вращения деформацией его параллелей в эллипсы);

эллипсоид (эллипсоид вращения, в частности сфера; трехосный эллипсоид, получаемый из эллипсоида вращения деформацией его параллелей в эллипсы);

 параболоид, гиперболоиды и др.

Винтовые поверхности

Они описываются какой-либо линией (образующей) при ее винтовом движении. Если образующая винтовой поверхности прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом (пример – шнек). Различают прямой и наклонный геликоиды. В первом случае образующая во всех положениях перпендикулярна оси t, во втором - пересекает ось геликоида под постоянным углом отличным от прямого.

Циклические поверхности

Они описываются какой-либо окружностью (образующей) постоянного или переменного радиуса при ее произвольном движении.

К циклическим можно отнести все поверхности вращения и те из поверхностей второго порядка, которые имеют круговые сечения. Кроме этих к циклическим относят каналовые и трубчатые поверхности.

Каналовые поверхности (рисунок 5-5) образуются движением окружности переменного радиуса, центр которой 0 перемещается по заданной кривой (направляющей l ), а плоскость окружности остается перпендикулярной этой кривой.

Трубчатая поверхность образуется движением окружности постоянного радиуса – в этом ее отличие от каналовой поверхности.

13.6 Топографические поверхности

Образование их не подчинено какому-либо закону. К таким поверхностям относятся поверхности земной коры, корпуса судов, обшивки самолетов, автомобилей.

На чертеже эти поверхности изображаются при помощи семейства некоторых линий (рисунок 5-6).

Из сказанного выше видно, что некоторые поверхности могут быть отнесены к нескольким классам одновременно

В случае пересечения прямой с поверхностью в качестве вспомогательной поверхности используют плоскость. Сложность решения задачи во многом зависит от сложности нахождения сечения поверхности вспомогательной плоскостью. Поэтому в качестве вспомогательной необходимо использовать плоскость, пересекающую поверхность по графически простым линиям. Чаще всего применяются проецирующие плоскости.
Аксонометрические изображения довольно широко применяются в конструкторской работе