Дифференцирование и интегральное исчисление

Математика
Дифференциальные уравнения

Исследование функции

Комплексные числа
Построение графика
Примеры решения дифференциальных уравнений
Интеграл
Аналитическая геометрия
Вычисление площадей
Графики функций
Предел последовательности
Предел функции
Комбинаторика
Вычисление площадей в декартовых координатах
Вычисление площадей фигур при параметрическом задании границы
Вычислении площадей в полярных координатах
Вычисление обьема тела
Вычисление длин дуг кривых, заданных в декартовых координатах и параметрически
Типовой расчет примеры решения задач
Бином Ньютона
Физика
Хаpактеpистика и законы сил механики
Кинетическая и потенциальная энергия
Постулаты теоpии относительности
Электpический заpяд
Электpическая емкость пpоводников и конденсатоpов
Закон Ампеpа
Лабораторные работы по электротехнике
Геометрическая оптика

Фотометрия

Дифракция севета
Поляризация света
Оптика движущихся тел
Интерференция света
Фотоэлектрический эфект
Ренгеновское излучение
Радиоактивность
Учебник по Microsoft Office
Ядерные реакции
Задачи
Кинематика
Механика
Термодинамика
Электростатика
Магнитное поле
Ядерная физика
 

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Односторонние производные функции в точке

Основные правила дифференцирования

Производная сложной функции

Логарифмическое дифференцирование  Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Производная показательно - степенной функции

Производная обратных функций

Задача. Дана система линейных уравнений Практикум по решению математических задач

Дифференциал функции Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.

Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал сложной функции
Формула Тейлора
Формула Маклорена

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

Функция f(x) = sinx.
Функция f(x) = cosx.
Пример:Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.
Функция f(x) = ln(1 + x).
Теоремы о среднем
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши
Раскрытие неопределенностей

Правило Лопиталя

Пример:Найти предел .
Производные и дифференциалы высших порядков

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций

  Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

  2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Схема исследования функций

Векторная функция скалярного аргумента

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции

Уравнения некоторых типов кривых в параметрической форме

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской криво

  • Пример:Методами дифференциального исчисления исследовать функцию  и построить ее
  • Пример:Исследовать функцию  и построить ее график.график.
  • Пример:Исследовать функцию  и построить ее график.
Первообразная функция
Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).

 

Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.
  • Способ подстановки (замены переменных)
  • Интегрирование по частям
Интегрирование элементарных дробей
Интегрирование рациональных функций
  Пример.   
Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида  Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

Интеграл произведения синусов и косинусов
Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегрирование биноминальных дифференциалов
Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.
  • Тригонометрическая подстановка
  • Подстановки Эйлера Метод неопределенных коэффициентов
Определенный интеграл
Вычисление определенного интеграла

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

 Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Замена переменных
Интегрирование по частям
  • Формула прямоугольников
  • Формула трапеций
  • Формула парабол
  • Примеры
Геометрические приложения определенного интеграла
  • Нахождение площади криволинейного сектора
  • Пример:Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.
Вычисление объемов тел.
  • Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений
  • Объем тел вращения
  • Площадь поверхности тела вращения
Функции нескольких переменных
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
 Пример. Найти полный дифференциал функции .
Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала
Частные производные высших порядков
Экстремум функции нескольких переменных
Условный экстремум
Производная по направлению
 Пример.Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).
Градиент
Кратные интегралы  Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.
Условия существования двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла
 Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2.

Тройной интеграл

  При рассмотрении тройного инеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

  Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве.

Цилиндрическая система координат
Геометрические и физические приложения кратных интегралов
Вычисление площади кривой поверхности
Вычисление площадей в полярных координатах

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Урок 1. Первое знакомство

Первое знакомство
Зарождение и развитие систем компьютерной алгебры
Математические системы Mathematica
Структура систем Mathematica и их идеология
Знакомство с символьными вычислениями
Установка систем и их особенности
Отличительные особенности Mathematica 4
Что нового мы узнали?
Урок 2. Интерфейс системы

Интерфейс системы
Строка меню и окно редактирования документов
Палитры математических операторов и функций
Понятие о документах в форме notebooks
Особенности интерфейса Mathematica 4
Работа с файлами
Редактирование документа
Работа с ячейками
Ввод элементов документов
Управление работой ядра
Операции поиска и замены
Работа с окнами и справкой

[an error occurred while processing this directive]